在密码学中，线性复杂度是用来衡量伪随机序列不可预测性的一个重要指标。本文研究了两类广义环序列的线性复杂度，一类是二阶Whiteman广义环数序列，另一类是Ding-Helleseth广义环数序列。作者通过分析这些序列的性质，得出了它们始终具有足够高的线性复杂度的结论。
线性复杂度是衡量伪随机序列质量的一个关键特性之一。它与序列的周期性紧密相关，且对序列中元素的变化具有高度的稳定性。即在不显著改变序列的线性复杂度的情况下，改变序列的少数几个元素。在密码学应用中，特别是流密码的密钥流中，一个良好的伪随机序列应该具有足够高的线性复杂度，通常要求这个复杂度不小于其最小周期的一半。
在这篇文章中，作者使用了Berlekamp-Massey算法来计算二元伪随机序列的线性复杂度。这个算法基于序列的前2L个元素来计算其线性复杂度L。如果L接近序列最小周期的一半，那么该序列从线性复杂度的角度看就是优良的。更具体地说，给定一个二元伪随机序列，如果它满足以下递归关系：
s_0 = 0, s_j = s_{j-1} + c_j (j = 1, 2, 3, ...)
其中，c_j 属于有限域GF(2)，那么该序列的线性复杂度L定义为最小的正整数L，使得序列中任意长度大于或等于L的子序列都可以由长度为L的线性反馈移位寄存器（LFSR）生成。
此外，文章还涉及了cyclotomy和generalized cyclotomy的概念，这是古老的数论分支，与许多重要的学术领域相关。它们在设计周期为N的每个二元伪随机序列本质上是一种对剩余类的划分。
为了计算周期为N的二元伪随机序列的线性复杂度，可以使用以下方法：确定序列的最小生成多项式S(x)，这个多项式通过将序列视为有限域GF(2)上的向量得到。一旦得到最小生成多项式S(x)，就可以计算其在GF(2)[x]上的次数，这个次数就是该序列线性复杂度的度数。最小生成多项式S(x)的次数N减去最小多项式S(x)和x^N-1的最大公约数的次数，即为序列的线性复杂度。
作者提出，Whiteman广义环数序列和Ding-Helleseth广义环数序列这类序列的线性复杂度始终足够高，这表明这两类广义环数序列在密码学应用中具有较强的实用性，特别是在需要高线性复杂度的场合。本文通过严谨的数学推导和算法实现，为这两类广义环数序列在密码学中的应用提供了理论支撑。
