二次规划问题是优化理论与应用中的一个核心问题，尤其在工程、经济、管理等领域具有广泛的应用。在这类问题中，目标函数是变量的二次函数，并且约束条件是变量的一次函数。对于正定二次规划问题，由于目标函数的Hessian矩阵正定，问题转化为寻找目标函数的最小值。
正定二次规划问题通常表示为min f(x) = x^T H x + g^T x，受限于Ax = b，x ≥ 0。其中，H为n×n维对称正定矩阵，A为m×n维矩阵，g为n维向量，b为m维向量，x为n维决策变量向量。可行域X由满足约束条件的x的集合构成。如果Hessian矩阵H正定，则可以保证问题的凸性，即解是唯一的。
在讨论的论文中，作者提出了一种新算法，该算法的基本思想是将Hessian矩阵H分解为两个部分：N和G。要求N和G都是n×n维对称矩阵，并且N-G是对称正定矩阵。在每次迭代计算中，使用易于求解的矩阵N代替H进行计算，这样可以降低问题求解的复杂度。
算法描述中提到了一个关键步骤，即对于给定的初始点x0和允许误差e，通过迭代计算逼近最优解。在算法中，迭代点列会收敛到原问题的最优解。论文提出了两种算法，一种适用于原问题有明显可行解的情况，另一种适用于原问题没有明显可行解的情况。在后者中，构造了一个增加人工变量的人工问题，并证明了其最优解与原问题的最优解相同。
在算法的具体实施步骤中，首先确定一个初始点x0，然后通过求解问题(2)，找到下一个迭代点xk+1。这个过程会持续进行，直到两次迭代之间的差值小于设定的误差阈值e。如果达到这个条件，则算法停止计算，当前迭代点即为原问题的近似最优解。
文中还提到了算法的收敛性分析。收敛性是指算法迭代过程中的解能够逐渐靠近最优解。在这个算法中，假设了Hessian矩阵H是正定的，这保证了每次迭代过程中，通过使用正定矩阵N代替H进行计算，可以确保迭代序列的线性收敛性，即能够保证算法产生的迭代点列收敛到原问题的最优解。
此外，论文还指出，在特定条件下，如H是对角占优矩阵时，可以选择一种特殊的对角矩阵N，这样能够极大简化算法的计算复杂度。当H是对角占优矩阵时，可以直接取对角矩阵N的对角元素为H的对角元素，这样可以保证N-G是对称正定矩阵。
在算法的分析过程中，还提出了一些引理来证明算法的收敛性。例如，引理1表明，对于任意的x在可行域X中，算法得到的最优解x'与x之间的差值与N和Hessian矩阵H有关，这为证明算法收敛性提供了理论基础。
整体而言，这篇文章提出的算法针对正定二次规划问题，通过一种特殊的矩阵分解方法简化了问题的求解。在保证了Hessian矩阵正定的情况下，讨论了算法的收敛性质，并通过理论和实证分析证明了其有效性和准确性。这些内容不仅丰富了二次规划的理论，也为相关领域的实际问题提供了一种新的解决方案。
