在研究正整数的数学属性中，数论一直是重要的一门学科，它研究整数以及整数性质的理论。其中约数和函数是一个基本概念，指的是对于给定的正整数k，其所有正约数之和。在本研究中，吴莉和杨仕椿两位学者运用初等数论的方法，特别是利用了等幂和的Bernoulli展开式，对一类约数和函数的上界进行了估计。
我们介绍一下约数和函数。对于任意正整数k，可以找到所有能够整除k的正整数集合，称为k的约数集合。k的约数之和，记为σ(k)，是约数和函数在k处的值。约数和函数在数论研究中具有非常重要的地位，它不仅是完全数问题的关键所在，还在其它许多数学问题中扮演着重要角色。约数和函数的一个经典应用是定义了完全数：一个正整数等于其所有真约数（即除了自身以外的约数）之和时，称之为完全数。
在本研究中，作者吴莉和杨仕椿重点探讨了约数和函数σ(k)的上界估计。他们提出了一个关于σ(k)和式上界的估计问题，这个和式涉及到了自然数k的不同约数之和。具体来说，他们的工作建立在等幂和的Bernoulli展开式之上，这是一种利用Bernoulli数来表示多项式和式的方法。Bernoulli数是一系列特定的有理数，它们在数学分析和数论中有许多重要的应用。
研究者们将σ(k)表示为特定的和式，通过引入了变量r，并对r进行取值，然后用初等数论的方法给出了σ(k)的和式上界的一个估计。在他们的方法中，利用了关于Bernoulli数的特定性质和展开式的系数，构建了一个关于k的函数，用以估计σ(k)的上界。这里，Bernoulli数是通过其生成函数的展开获得的系数，这个生成函数是一个指数函数的泰勒展开。
文中提到了一些关键引理，这些引理是证明估计结果的基础。例如，引理1建立了当r和k的值达到一定条件时，对数函数的性质，这表明某些情况下对数函数是增加的。引理2则给出了当k大于某个特定值时，σ(k)的一个上界估计。而引理3则依赖于Bernoulli数的性质。
在主要结果中，作者们证明了一个定理，该定理提供了一个上界，这个上界是关于k和r的函数。最终，他们得出了σ(k)的一个上界估计，且这个估计是关于k和r的多项式形式。通过设定不同的r值，可以得到不同的上界估计。推论1则是定理的一个直接应用，它给出了当n大于一定值时，σ(k)的一个具体上界。
整体来看，这项研究运用了经典数论技巧，结合了现代数学分析中的重要概念——Bernoulli数，提供了一种新的途径去理解和估计约数和函数的上界。这对于深入探索数的性质，特别是对于整数分解和数论函数的深入研究，具有相当的理论价值和应用前景。
