基于跳扩散过程的幂期权定价 (2013年)

### 基于跳扩散过程的幂期权定价 #### 引言 期权定价问题是金融数学与金融工程领域的重要研究主题之一。传统的期权定价理论通常假定标的资产价格遵循几何布朗运动，这是一种连续的随机过程。然而，在实际金融市场中，由于突发事件（如重大经济政策发布、公司重大事件等）的影响，股票价格往往会突然出现不连续的跳跃变化。因此，股票价格的演变过程应该同时考虑连续扩散过程与不连续的跳跃过程两个方面。本文基于这一背景，采用跳扩散过程来描述股票价格的变化，并结合风险中性原理探讨幂期权的定价问题。 #### 跳扩散过程下的幂期权定价理论 ##### 1. 预备知识：幂期权定义 - **幂期权**是一种非标准的衍生金融工具，其特点是到期日的支付取决于标的资产价格的幂次形式。具体来说，看涨幂期权的支付函数为\[ \max{(S_T^\alpha - K, 0)} \]，而看跌幂期权的支付函数为\[ \max{(K - S_T^\alpha, 0)} \]。其中，\(S_T\)表示到期日标的资产的价格，\(K\)为行权价格，\(\alpha\)为正实数。 - **跳扩散过程**：在金融数学中，跳扩散过程用于描述股票价格的动态变化，结合了连续的布朗运动和不连续的跳跃。股票价格\(S_t\)遵循的跳扩散过程可以表示为： \[ dS_t = S_t(r - \lambda k) dt + \sigma S_t dW_t + U S_t dq_t \] 其中： - \(r\)为无风险利率； - \(W_t\)为标准布朗运动； - \(\sigma\)为股票价格的波动率； - \(q_t\)为一个强度为\(\lambda\)的泊松过程，用于描述跳跃发生的概率； - \(dq_t\)为跳跃发生的点过程，如果股票价格发生跳跃，则\(dq_t = 1\)，否则\(dq_t = 0\)； - \(U\)为跳跃幅度，\(k = E[U]\)表示跳跃的期望值。 通过解随机微分方程，我们可以得到股票价格的对数过程\(d\ln{S_t}\)： \[ d\ln{S_t} = (r - \lambda k - \frac{1}{2}\sigma^2) dt + \sigma dW_t + \ln(1+U) dq_t \] ##### 2. 权利金定价公式推导 - **风险中性原理**：在风险中性的世界里，所有资产的预期收益率等于无风险利率。利用这一原理，可以推导出跳扩散过程下幂期权的定价公式。 - **看涨期权定价公式**：设\(C_0\)为初始时刻的看涨幂期权价格，根据风险中性定价原理，有 \[ C_0 = e^{-rT} E_Q[\max{(S_T^\alpha - K, 0)}] \] 其中，\(E_Q\)表示在风险中性测度\(Q\)下的期望值。 - **看跌期权定价公式**：同样地，设\(P_0\)为初始时刻的看跌幂期权价格，则有 \[ P_0 = e^{-rT} E_Q[\max{(K - S_T^\alpha, 0)}] \] 这些公式为我们提供了计算幂期权价值的具体方法。 ##### 3. 幂期权的平价关系 - **幂期权平价关系**：在跳扩散过程中，幂期权也存在类似于普通期权的平价关系。对于欧式幂期权，有 \[ C_0 + Ke^{-rT} = P_0 + S_0 \] 其中，\(C_0\)和\(P_0\)分别是看涨和看跌幂期权的价格，\(S_0\)是当前标的资产的价格。 通过上述分析，我们不仅得到了跳扩散过程下幂期权的定价公式，还探讨了其平价关系，这对于实际金融市场的交易策略制定具有重要意义。此外，该研究还为更广泛范围内的金融产品定价提供了一种新的视角和方法。