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第 28 卷第 11 期

Vol. 28 No. 11

控制与决策

Control and Decision

2013 年 11 月

Nov. 2013

基于二元联系数集结算子的多准则群决策方法

文章编号: 1001-0920 (2013) 11-1630-07

汪新凡

1,2

, 王坚强

, 杨恶恶

(1. 湖南工业大学理学院，湖南株洲 412007；2. 中南大学商学院，长沙 410083)

摘要: 定义了二元联系数的加性运算法则, 给出了几种新的算术集结算子, 即二元联系数加权算术平均 (BCNWAA)

算子、二元联系数有序加权平均 (BCNOWA) 算子和二元联系数混合集结 (BCNHA) 算子, 提出了一种基于二元联系

数的准则权重信息不完全确定的群决策方法. 该方法利用 BCNWAA 算子和 BCNHA 算子对二元联系数准则值进行

集结; 利用二元联系数准则值的方差和准则权重的随机性, 通过构建优化模型确定最优准则权重. 最后, 通过实例分

析表明了该方法的可行性和有效性.

关键词: 群决策；集对分析；二元联系数；二元联系数加权算术平均算子；二元联系数有序加权平均算子；二元

联系数混合集结算子

中图分类号: C934 文献标志码: A

Multiple criteria group decision making method based on binary

connection number aggregation operators

WANG Xin-fan

1,2

, WANG Jian-qiang

, YANG Wu-e

(1. School of Science，Hunan University of Technology，Zhuzhou 412007，China；2. School of Business，Central

South University，Changsha 410083，China．Correspondent：WANG Xin-fan，E-mail：zzwxfydm@126.com)

Abstract: Some additive operational laws of binary connection numbers are deﬁned, and several new arithmetic aggregation

operators, such as the binary connection number weighted arithmetic averaging(BCNWAA) operator, the binary connection

number ordered weighted averaging(BCNOWA) operator and the binary connection number hybrid aggregation(BCNHA)

operator, are proposed. Then an approach is developed for solving multiple criterion group decision making based on binary

connection numbers with incomplete uncertain information. In this method, binary connection number criterion values are

aggregated using the BCNWAA operator and the BCNHA operator, some optimal models are constructed to determine the

optimal criterion weights using the variance of binary connection number criterion values and the randomness of criterion

weights. Finally, an example is given to illustrate the feasibility and effectiveness of the developed method.

Key words: group decision making；set pair analysis；binary connection numbers；BCNWAA operator；BCNOWA

operator；BCNHA operator

0 引引引言言言

多准则决策过程中, 决策者往往利用区间数、三

角模糊数等描述和处理实际中的模糊性, 从而模糊多

准则决策成为了决策领域的一个研究热点. 现有模糊

决策方法很多, 但仍存在缺陷. 例如, 国外研究主要借

助于 𝛼 截集的方法

[1-3]

, 但文献 [1-2] 的方法需要 𝛼 遍

历区间 [0, 1] 内的所有实数, 很不现实; 文献 [3] 的方

法计算繁琐, 模糊极大集、极小集的隶属函数表达式

难于理解, 同时, 工程技术人员也难以运用于实际. 国

内研究虽然采用隶属函数的表达形式, 但建模之前决

策信息就已经被精确化, 造成了大量信息的丢失. 从

严格意义上讲，这些方法并没有脱离经典多准则决

策的范畴.

集对分析

[4]

是一种新的不确定性理论, 其核心

思想是把对客观事物的确定性测度与不确定性测度

作为一个系统进行分析, 从而整体地处理由模糊、随

收稿日期: 2012-07-31；修回日期: 2012-11-02.

基金项目: 国家自然科学基金项目(71221061, 71271218, 61174075)；教育部人文社科基金项目(10YJC630338,

12YJA630114); 湖南省自然科学基金项目(11JJ6068); 湖南省科技计划项目(2012FJ3036, 2012FJ4116); 湖

南省高等学校科学研究重点项目(12A042).

作者简介: 汪新凡(1966−), 男, 教授, 博士生, 从事不确定决策和集成算子等研究；王坚强(1963−), 男, 教授, 博士生导

师, 从事决策理论与应用、风险管理与控制等研究.

第 11 期

汪新凡等: 基于二元联系数集结算子的多准则群决策方法

1631

机、不确知和中介等不确定性所导致的混合不确定

性问题, 主要数学工具是联系数. 集对分析为处理不

确定多准则决策问题提供了一种新的思路, 能有效克

服模糊决策的一些缺陷, 受到许多研究人员的高度关

注

[5-7]

. 二元联系数作为联系数的一种, 目前其相关研

究已取得一些成果, 但还很不完善

[8-12]

. 文献 [8-9] 利

用二元联系数描述和处理网络计划和系统调度中的

不确定性; 文献 [10] 对二元联系数的理论基础 (如运

算法则) 进行了研究; 文献 [11] 通过将区间数转化为

二元联系数, 提出了准则权重和准则值均以区间数形

式给出的多准则决策方法; 文献 [12] 通过将模糊语言

评估标度转化为二元联系数, 提出了一种决策者权

重、准则权重和准则值均以语言形式给出的群决策方

法. 但是, 有关二元联系数的排序规则、运算法则以及

二元联系数信息的集结方法均有待进一步研究. 为此,

本文给出了一种二元联系数的比较与排序方法, 定义

了二元联系数的加性运算法则; 基于这些运算法则,

定义了一些二元联系数信息的算术集结算子, 并将这

些算子应用于群决策, 提出了一种准则值为二元联系

数而准则权重信息不完全确定的群决策方法.

1 二二二元元元联联联系系系数数数及及及其其其集集集结结结算算算子子子

定定定义义义 1

[4]

给定两个有一定联系的集合 𝐹 和 𝐺,

它们组成集对 𝑌 = (𝐹, 𝐺). 在某一具体问题背景下,

一般用

𝑈 = 𝐴 + 𝐵𝑖 + 𝐶𝑗 (1)

表示两个集合同、异、反关系数及其相互联系. 其中:

𝐴 为同关系数, 𝐵 为异关系数, 𝐶 为反关系数, 𝑗 = −1,

𝑖 ∈ [−1, 1]. 令 𝑁 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶, 则 𝑁 为两个集合的关

系总数, 也称联系范数. 用 𝑁 除式 (1) 两边, 并令 𝑢 =

𝑈/𝑁 , 𝑎 = 𝐴/𝑁, 𝑏 = 𝐵/𝑁 , 𝑐 = 𝐶/𝑁 , 则由式 (1) 可得

𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑖 + 𝑐𝑗. (2)

其中: 𝑎, 𝑏, 𝑐 依次称为两个集合 𝐹 和 𝐺 的同一度、差

异度和对立度, 且 𝑈 和 𝑢 统称为三元联系数.

若式 (1) 和 (2) 简化为如下形式:

𝑢 = 𝑎 + 𝑏𝑖, 𝑈 = 𝐴 + 𝐵𝑖; (3)

𝑢 = 𝑎 + 𝑐𝑗, 𝑈 = 𝐴 + 𝐶𝑗. (4)

则 𝑈 和 𝑢 统称为二元联系数.

一般仅使用式 (3) 类型的二元联系数. 文献 [11]

中约定上述二元联系数中的 𝑖 ∈ [0, 1], 本文认为其更

适合表达决策信息, 只是其中的 𝐴, 𝐵 均为自然数, 𝑎,

𝑏 ∈ [0, 1], 限制了其使用范围. 本文将其推广, 给出如

下定义.

定定定义义义 2 设 𝜇, 𝜂 为任意非负实数, 称

𝛽 = 𝜇 + 𝜂𝑖 (5)

为二元联系数. 其中: 𝜇 为确定数, 𝜂 为不确定度 (表示

不确定的最大程度), 𝜂 𝑖 为不确定数, 𝑖 ∈ [0, 1] 且需根

据问题的具体情境不确定取值, 有时 𝑖 也可仅作为一

个不确定量的标记使用. 如无特别说明, 本文所指均

为此种类型的二元联系数, 并记 Ω 为所有这种二元联

系数组成的集合.

设 [𝑥, 𝑦](0 ⩽ 𝑥 ⩽ 𝑦 < +∞) 为非负区间数 (如果

为负区间数, 则经规范化处理后一定为非负区间数),

将其改写为二元联系数的形式, 有

𝛽 = 𝑥 + (𝑦 − 𝑥)𝑖, 𝑖 ∈ [0, 1]. (6)

由式 (6) 可知, 𝛽 = 𝜇 + 𝜂𝑖 转化成区间数即为

𝛽 = [𝜇, 𝜇 + 𝜂]. 文献 [13] 认为准则值在 [𝜇, 𝜇 + 𝜂] 内服

从正态分布, 且其期望值为

𝐸(

𝛽) =

[𝜇 + (𝜇 + 𝜂 )] = 𝜇 + 0.5𝜂,

均方差为

𝜎(

𝛽) =

[(𝜇 + 𝜂) − 𝜇] =

𝜂

参照此可定义二元联系数的期望值和均方差.

定定定义义义 3 设 𝛽 = 𝜇 + 𝜂𝑖 为二元联系数, 则称

𝐸(𝛽) = 𝜇 + 0.5𝜂 (𝑖 = 0.5), (7)

𝜎(𝛽) = 𝜂/6 (8)

分别为 𝛽 的期望值和均方差.

根据期望-方差准则, 以下给出一种二元联系数

的比较与排序方法.

定定定义义义 4 设 𝛽

= 𝜇

+ 𝜂

𝑖 和 𝛽

= 𝜇

+ 𝜂

𝑖 为任

意的两个二元联系数, 则有:

1) 若 𝐸(𝛽

) < 𝐸(𝛽

), 则 𝛽

< 𝛽

2) 若 𝐸(𝛽

) = 𝐸(𝛽

), 则:

①当 𝜎(𝛽

) = 𝜎(𝛽

) 时, 𝛽

= 𝛽

;

②当 𝜎(𝛽

) < 𝜎(𝛽

) 时, 𝛽

> 𝛽

;

③当 𝜎(𝛽

) > 𝜎(𝛽

) 时, 𝛽

< 𝛽

文献 [10] 将二元联系数的加法定义为

𝛽

⊕ 𝛽

= 𝜇

+ 𝜇

+ (𝜂

+ 𝜂

)𝑖, (9)

但本文认为其有不合理之处, 现给出如下定义.

定定定义义义 5 设 𝛽

= 𝜇

+ 𝜂

𝑖 和 𝛽

= 𝜇

+ 𝜂

𝑖 为任

意的两个二元联系数, 则其加性的运算法则为

𝛽

⊕ 𝛽

= 𝜇

+ 𝜇



𝜂

+ 𝜂

𝑖. (10)

若设 𝛽 = 𝜇 + 𝜂𝑖 为二元联系数, 则由式 (10) 可得

2𝛽 = (𝜇 + 𝜂𝑖) ⊕ (𝜇 + 𝜂𝑖) =

𝜇 + 𝜇 +



𝜂

+ 𝜂

𝑖 = 2𝜇 +

√

2 𝜂𝑖,

3𝛽 = (2𝜇 +

√

2𝜂𝑖) ⊕ (𝜇 + 𝜂𝑖) =

2𝜇 + 𝜇 +



(

√

2𝜂)

+ 𝜂

𝑖 = 3 𝜇 +

√

3𝜂𝑖,

4𝛽 = 4𝜇 +

√

4𝜂𝑖, ⋅⋅⋅ .

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