长和无限序列的多窗口实值离散Gabor变换

本文主要探讨的是长和无限序列的多窗口实值离散Gabor变换（Multi-window Real-valued Discrete Gabor Transform, 简称为M-RDGT），这种变换是基于双正交分析方法提出的一种新型变换，旨在解决传统多窗口复值离散Gabor变换（Multi-window Complex-valued Discrete Gabor Transform, 简称为M-CDGT）中存在的一些问题。 我们了解传统的Gabor变换已经在多个领域中被广泛应用，如机械系统中的顺序跟踪、系统识别、语音和图像处理、雷达数据处理、声纳和地震数据处理和解释等。然而，传统的单窗口Gabor变换存在局限性，其时间-频率定位受限于海森堡不确定性原理，对于包含广泛时间和频率内容的信号动态时间-频率内容分析不够充分。为了提高时间-频率分析能力，人们开发了多窗口复值离散Gabor变换（M-CDGT）。在M-CDGT中，分析序列的长度限制了窗口的长度。这就意味着，如果分析的序列很长，解决窗口就需要较高的计算负担和内存，并可能导致数值不稳定。此外，双正交性是多窗口复值离散Gabor变换中的一个重要概念，它涉及到了分析窗口和合成窗口之间的某种对应关系。这种对应关系保证了变换的完备性和稳定性，是有效进行信号分析和处理的基础。 在这样的背景下，为了克服现有M-CDGT所面临的问题，本研究提出了适用于长序列甚至无限序列的多窗口实值离散Gabor变换（M-RDGT），并导出了分析窗口和合成窗口之间的双正交性约束。这一新变换的关键优势在于，分析窗口和合成窗口的长度可以独立于分析序列的长度，从而可以使用有限（或短）窗口来处理任何长度的序列，包括无限长的序列。 研究工作详细证明了M-RDGT的完备条件与其分析窗口与合成窗口之间的双正交性约束是等效的。这一点对于保证变换的完整性至关重要，因为只有在满足完备性条件的情况下，信号才能被完整地重构。此外，M-RDGT可以利用快速离散Hartley变换算法进行快速计算，这为计算带来了极大的便利。而且，M-RDGT与M-CDGT之间有着更为简单的关系，使得可以从M-RDGT系数直接计算出M-CDGT系数，简化了系数之间的转换过程。 M-RDGT的主要创新点包括： 1. 分析窗口和合成窗口长度的独立性：允许使用有限长度的窗口来分析任意长度（甚至无限长）的序列，突破了传统变换的长度限制，减少了计算负担和内存要求。 2. 双正交性约束：分析窗口和合成窗口之间的双正交性约束确保了变换的稳定性和完备性，是信号分析和处理的重要保证。 3. 快速计算：利用快速离散Hartley变换算法来实现M-RDGT的快速计算，提高了处理效率。 4. 与M-CDGT的兼容性：M-RDGT与M-CDGT之间的简单关系为从一种变换系数到另一种变换系数的直接转换提供了可能，方便了算法的应用和推广。 本研究中提出的方法，不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也具有广泛的应用前景。M-RDGT的应用范围可能包括但不限于数字信号处理、信号压缩、模式识别等多个领域。其对长和无限序列的高效处理能力，对于实时信号处理系统以及需要处理海量数据的应用场景尤为重要。 本研究通过引入双正交分析方法，成功地解决了传统多窗口复值离散Gabor变换在处理长序列时遇到的困难，拓展了Gabor变换在时间-频率分析领域的应用范围，特别是在处理长和无限序列时提供了更加高效的工具和方法。这项工作不仅丰富了数字信号处理的理论，也为未来在该领域的深入研究和实践应用奠定了坚实的基础。