线性乘性规划（Linear Multiplicative Programming，LMP）是数学规划领域的一种特殊类型问题，它在工厂布局设计、超大规模集成电路设计等实际问题中有着广泛的应用。本文所述的研究对这类问题提出了一种利用单调函数的全局优化算法，并在理论上证明了该算法的收敛性。同时，通过数值实验验证了所提方法的可行性和有效性。
单调函数在数学优化中指的是，在某个区间内，函数值随自变量增加或减少而单向变化的函数，分为单调递增和单调递减两种。单调函数在优化问题中具有重要性，因为它们在求解最优化问题时能够提供稳定的性质，帮助避免局部最优解，从而有助于找到全局最优解。
文章中定义了线性乘性规划问题的一般形式，其中包含了一系列线性乘法项。每个乘法项由线性函数与正系数相乘构成。问题的目标是最小化这些乘积项的乘积，同时满足若干线性不等式约束条件。
文中提及的等价单调转化指的是将线性乘性规划问题转化为等价的单调优化问题。这一步骤涉及将目标函数和约束函数通过数学变换转换为单调函数，具体而言，是通过分离原问题中的正系数和负系数项来实现。通过该转化，可以简化原始问题的复杂性，利用单调函数的性质来寻找全局最优解。
定理1证明了对于任意一个多项式Q(y1, y2, ..., yN)，都可以在某个区间内分解为单调递增函数和单调递减函数的差。这一点对于将问题转化至单调优化问题至关重要，因为它保证了转化后的函数能够保持单调性质。
为了求解转化后的单调优化问题，文章提出了具体的算法步骤。算法采用迭代的方式，通过调整收敛性参数ε来不断逼近最优解。算法步骤0开始于给定的收敛性参数ε，并通过辅助问题来逐步逼近原问题的最优值。整个算法过程中，需要判断是否存在满足特定条件的可行解，以保证算法能够收敛到全局最优。
定理2和定理3涉及算法的收敛性和最优解的性质。定理2说明了如果存在一个满足特定条件的可行解，则该解可以用来构造原问题的最优解。定理3则指出，如果存在满足某些条件的可行解，则该解可以作为问题的一个ε-最优解。这些定理为算法的收效性和解的质量提供了理论保证。
文章还提到了分枝定界法（Branch and Bound），这是一种常见的解决组合优化问题的算法，通过构建问题的分支树，对搜索空间进行有效的剪枝，从而逐步缩小搜索范围直至找到最优解。尽管本研究的重点在于单调优化算法，分枝定界法作为一个重要的参考背景，在本问题解决过程中可能也起到了辅助作用。
文章的作者陈永强和程维新来自于河南师范大学数学与信息科学学院，从事最优化理论、算法及应用方面的研究。研究成果得到了国家自然科学基金和河南省高校科技创新人才支持计划项目的资助，这表明该研究得到了学术界的认可和资助机构的支持。
本篇论文针对线性乘性规划问题，提出了一种单调优化方法，并从理论上证明了方法的收敛性。通过具体的定理和算法步骤，展示了如何将原问题转化为单调优化问题，并找到了全局最优解。该研究不仅在理论上具有创新性，而且通过实际数值实验验证了算法的有效性，为解决实际应用中的线性乘性规划问题提供了有效的理论工具和实用的算法方案。
