整环Z[√-5 ]中的不可约元 (2011年)

在数学领域，整环是包含加法、乘法两种运算的代数结构，其中乘法满足交换律，无零因子，但不一定有乘法单位元。整环中的元素可以分为可约元与不可约元，这些概念在数论中尤为重要，尤其是在研究环的性质时。本文以整环Z[√-5]作为研究对象，探讨了该整环中的可约元及不可约元，并给出了一些判别准则，简化了特定元素可约性的判断过程。 整环中的不可约元是指只有平凡因子的元素，即除了单位元和该元素本身以外，没有其它因子可以整除它的元素。相反，可约元则是存在非平凡因子可以整除它的元素。在整数环Z中，一个素数就是一个不可约元，但在整环Z[√-5]中，情况更加复杂。 整环Z[√-5]是由形如a+b√-5（其中a, b为整数）的所有元素构成的集合。在此整环中，对元素的范数定义为一个函数N，它将整环中的每个元素映射到一个非负整数，即对于α=a+b√-5，范数定义为N(α)=a²+5b²。范数的引入可以帮助我们判断整环中的元素是否为可约元或不可约元。 文章中列举了几个重要的定理和推论，用于辅助判断整环中的元素是否可约。定理1表明，在整环Z[-m姨]中，如果ε是单位（即可逆元），那么N(ε)=1。推论1则说明，在整环Z[-m姨]中，如果两个元素α和β的范数不相等，则这两个元素不相伴。这些结论为判断元素的可约性提供了工具。 在整环Z[-5姨]中，一个明显的可约元例子是9，因为9可以分解为3×3，它们都是整环Z[-5姨]中的元素。同理，27也是可约的，它可以分解为3×9。文章还通过范数的概念说明了为什么这些元素是可约的。 值得注意的是，当m=-1时，整环Z[-m姨]变成了高斯整数环Z[i]，这时对于可约元和不可约元的判定已经相对清晰。但在更一般的整环Z[-m姨]中（m为大于1的正整数），关于可约元与不可约元的结论和性质还不太为人所知。本文正是通过近世代数和数论的知识，讨论了整环Z[-5姨]中的可约元和不可约元，并给出了一些判别准则。 文章的作者是居腾霞和吕建波，发表于南通大学学报（自然科学版），卷号第10卷第3期，发表时间为2011年9月。该研究得到了南通大学博士启动基金项目（09B01）的支持。居腾霞教授是南通大学理学院的副教授，主要从事Hopf代数学的研究。在研究中，作者还探讨了整除、相伴元、因子等概念，并给出了具体的例子来说明整环中可约元与不可约元的判定方法。 本研究的成果对于理解整环Z[√-5]的结构以及更一般的整环结构具有重要意义。通过明确的判别准则，研究人员和学者们可以更加便捷地识别和研究整环中的元素性质，这对于数论及抽象代数的发展有着积极的推动作用。