Representations of quivers with automorphisms over finite fields

箭图是一种用于表示有限维代数结构的有向图。箭图上的自同构可以看作是在箭图上保持结构不变的映射，这种映射在研究箭图的表示理论中非常重要。本文讨论的是带自同构的箭图在有限域上的表示问题，具体来说是研究这些结构上模的不可分解类的个数。研究这样的问题不仅涉及到数学代数的基本理论，而且在编码理论、代数几何以及量子物理等领域都有广泛的应用。 在有限域上的表示问题中，研究者们会关注如何从给定的代数结构出发，分类所有可能的表示，也就是如何确定这些结构能够表示的模的类型。在自同构参与的情况下，讨论这些自同构如何作用于模，以及这些作用如何影响模的分类，是解决这一问题的关键。 文章中提到的遗传代数，是一种特殊类型的代数，它在模分类问题中起到了基础性作用。遗传代数的基本特征在于它的任意子代数也是遗传的，即子代数的表示问题可以通过遗传代数的表示问题来完全控制。在箭图表示的背景下，如果一个箭图与有限域上的代数构成遗传代数，那么这个代数的表示理论就相对容易掌握。 邓邦明和阿布都吾甫在文章中提出了一个关键问题，即在给定的有限域Fq上，如何计算具有固定维度向量的不可分解A(Q,σ;q)-模块的同构类个数。这里的A(Q,σ;q)指的是与带自同构箭图Q以及有限域Fq相关的代数。要解决这一问题，就需要深入研究Fq上的F-稳定表示，即那些在Fq上的自同构作用下保持不变的表示。 特别地，文章考虑了 tame 箭图的情形。所谓的 tame 箭图，是指那些不是 wild 的箭图，即其表示问题可以通过一系列的可解步骤来处理。对于 tame 箭图，作者给出了计算具有固定维度向量的不可分解模块同构类个数的公式。这个公式是基于对 tame 箭图在代数闭包k=Fq上的表示进行分类的。 为了更好地处理 tame 箭图上的表示问题，作者引入了σ-绝对不可分解模块的概念，这种概念是从绝对不可分解的概念推广而来的。这个新的概念更加适合描述Fq物种的表示理论。通过对这些概念的深入研究，作者能够详细计算 tame 箭图情况下不可分解模块同构类的数量，并提出了相关的多项式。 文章指出研究得到了中国自然科学基金和高等教育博士计划的资助，显示了该研究的重要性和实际应用价值。研究的深入不仅对于理论数学的发展具有重要意义，也可能为应用数学以及相关科学技术领域提供新的工具和方法。