混沌系统的最优控制是控制理论中的一个研究领域，它旨在通过控制策略来实现对混沌系统的精确控制。在2013年发表的这篇论文中，作者毛北行和崔红新关注了复杂网络混沌系统的最优控制问题，特别考虑了控制能量的限制要求。文章确定了一个二次目标函数，基于最优控制理论给出了相应的最优控制律，并利用Lyapunov稳定性理论证明了闭环系统的稳定性。下面详细阐述论文中的关键知识点。
混沌系统是一个非常敏感于初始条件的非线性动力学系统，其行为看似随机但实际上遵循确定性的方程。混沌同步指的是两个或多个混沌系统在一定条件下能实现状态的一致性，这在信息处理、生物工程等领域有着重要的应用前景。
复杂网络通常是由大量相互作用的节点组成的系统，它能够反映自然界和社会中的多种现象，如食物链网络、社交网络等。在复杂网络中，混沌同步是一个重要的研究领域，它与网络动力学的稳定性和信息传输密切相关。
最优控制理论是现代控制理论的一个分支，它旨在找到一种控制策略，使得系统在某种意义下的性能达到最优。在给定的能量限制下，通过设置一个二次目标函数，可以确保在控制过程中所需的控制能量尽可能小。
Lyapunov稳定性理论是判断动态系统稳定性的一种方法。该理论认为，如果可以找到一个所谓的Lyapunov函数（或称作能量函数），使得它在系统的状态空间中沿着系统的轨迹单调减少，那么系统就是稳定的。
数值结果是验证理论研究有效性的关键手段。通过模拟实验，可以检验最优控制律是否能够确保复杂网络混沌系统的状态按预期同步，以及系统是否真的稳定。
在该论文中，作者提出了一个具体的混沌系统模型：
痹xi（t）= f(xi(t)) + σ∑cijxj(t) + Bui(t)，
其中A、B为常数矩阵，σi表示网络节点间的耦合强度，cij表示网络拓扑结构的耦合矩阵C的一个元素。ui(t)为控制输入，xi(t)为系统的状态向量。
作者给出了系统最优控制律的表达式：
u*(t) = -R^(-1)B^TPxi，
这里R和P是根据二次目标函数和系统动态特性得到的特定矩阵，它们的选取遵循最优控制理论中的标准方法。
文章还考虑了非线性函数f(xi(t))的泰勒展开，并假设了f(0)=0和g(xi)满足一定的条件，这些假设简化了系统的动态描述，并使得系统状态空间中的行为可以通过线性化的方式进行分析。
此外，论文还讨论了控制系统能量限制的要求，这意味着设计的控制律需要在满足系统性能指标的同时，尽量减少控制能量的消耗。通过定义二次目标函数并基于最优控制理论，作者能够找到满足这一要求的最优控制策略。
综合以上内容，该论文的核心贡献在于提出了一种针对复杂网络混沌系统在能量限制条件下的最优控制方法，并通过理论证明和数值模拟验证了方法的有效性。这一研究对于理论研究和实际工程应用都具有重要意义，特别是在需要精确控制复杂网络动力学行为的场合。
