勘误到：在大N f时，Yukawa理论的β函数

### 勘误到：在大Nf时，Yukawa理论的β函数 #### 背景介绍 本文档是一篇关于大型Nf（即费米子味的数量）下的Yukawa理论β函数的勘误说明。原论文发表于2018年9月，该文针对之前工作中存在的一个计算错误进行了修正，并对结果的影响进行了分析。 #### 错误来源与修正 在原论文中，作者们报告了标量自能量n环部分计算中的错误。具体而言，错误出现在对G(1,1,1,1,(n−2)ϵ/2)的计算上。这一函数是通过递归方式使用参考文献[2]中的公式(2.19)和(2.21)重新评估的。这个修正导致原论文中的公式(4.20)中函数ξ0(ϵ)的表达式出现错误，正确的表达式应当为： \[ \xi_0(\epsilon) = -\frac{(1-\epsilon)\Gamma(4-\epsilon)}{\Gamma^2\left(\frac{2-\epsilon}{2}\right)\Gamma\left(\frac{3-\epsilon}{2}\right)\pi\epsilon\sin\left(\frac{\pi\epsilon}{2}\right)} = (1-\epsilon)\xi(\epsilon,1) \] 其中，\(\Gamma(x)\)表示伽马函数。基于此修正，公式(5.5)中的\(I_1(t)\)也相应地得到了修改，变为： \[ I_1(t) = \xi(t,1) - \frac{\xi_0(t)}{t} = \xi(t,1) = -\frac{\Gamma(4-t)}{\Gamma^2\left(\frac{2-t}{2}\right)\Gamma\left(\frac{3-t}{2}\right)\pi t\sin\left(\frac{\pi t}{2}\right)} \] 修正后的函数\(I_1(t)\)如图1所示。 #### 结果分析与验证 修正后的结果表明，β函数的第一个奇点出现在\(K=5\)而不是\(K=3\)。尽管奇点位置发生了变化，但对奇点结构的整体分析仍然保持不变。作者们进一步指出，修正后的结果与四环阶的扰动理论结果[3]在Nf的领先阶一致，并且与Gross-Neveu-Yukawa模型中的临界指数[4]计算结果相吻合。 #### 开放访问与版权说明 本文档遵循开放访问原则，由作者们资助发布，并且采用Creative Commons Attribution License(CC-BY4.0)许可协议。这意味着任何人可以在遵守原始作者署名的情况下自由使用、分发和复制本文档的内容。 #### 参考文献 1. T. Alanne and S. Blasi, The β-function for Yukawa theory at large Nf, JHEP08(2018)081 [arXiv:1806.06954][INSPIRE]. 2. A.G. Grozin, Lectures on multiloop calculations, Int.J.Mod.Phys.A19(2004)473 [hep-ph/0307297][INSPIRE]. 3. N. Zerf, L.N. Mihaila, P. Marquard, I.F. Herbut and M.M. Scherer, Four-loop critical exponents for the Gross-Neveu-Yukawa models, Phys.Rev.D. #### 深入讨论 1. **伽马函数的应用**：伽马函数是特殊函数的一种，常用于物理、数学等领域。在本研究中，伽马函数被用来精确地描述量子场论中的特定量，这对于理解量子场论中的微扰理论至关重要。 2. **β函数的重要性**：β函数描述了一个量子场论中耦合常数随能量尺度的变化情况。在本案例中，β函数的正确计算对于理解和预测Yukawa理论的行为至关重要。 3. **多圈计算技术**：参考文献[2]提到了多圈计算方法，这是一种处理量子场论中高阶微扰项的重要技术。通过这种方法，可以更精确地计算量子效应，这对于验证理论的一致性和准确性非常重要。 4. **临界指数的作用**：临界指数是统计物理学中的一个重要概念，它描述了相变点附近的物理量的行为。在本研究中，临界指数被用来验证修正后的理论结果与实验观测或数值模拟的一致性。 5. **开放访问的意义**：本文档采取开放访问形式发布，这有助于促进科学知识的广泛传播和交流，增强了科研成果的可见度和影响力。 本文档不仅纠正了原论文中的计算错误，还进一步验证了修正后的理论结果与现有理论框架的一致性。这对于推动量子场论领域的研究进展具有重要意义。