离散时间非线性切换脉冲系统的可观测性和可及性是控制系统理论中的重要概念，涉及到系统的状态能否通过输出观察得到以及系统能否达到任意状态的问题。本研究通过发展一套新的几何方法来探究这类系统的可观测性和可及性问题。该方法结合了微分几何理论和李群分析，特别在系统的几何框架下，研究了可观测性和可及性的无限小不变性。
在控制系统理论的研究中，过去几十年来，对离散系统的控制理论，如稳定性、稳定化、可控性和可观测性等概念，已经进行了大量的研究。而可观测性和可及性作为控制理论中的一些关键特性，例如与极点分配、结构分解、二次最优控制和观测器设计等密切相关，也成为了研究的重点。
随着混合系统（例如具有冲击的机器人系统、数字控制系统等）在工程领域的出现，混合系统的控制也取得了很大的进展。混合系统的研究推动了离散时间非线性切换脉冲系统可观测性和可及性问题的研究。由于切换脉冲系统的动态特性相较于一般离散系统更为复杂，其问题也就更加复杂且具有一些新的特点。
研究中提出了一个基于微分几何和李群分析的理论框架，通过该框架能够深入探讨系统的无限小不变性。无限小不变性是指在某些变换下系统的特性保持不变，这里的变换可以是时间的推进或者系统的切换。研究者们利用这一理论框架对离散时间非线性切换脉冲系统的可观测性与可及性进行了分析，从而得到了局部可观测性和局部可及性的明确判断标准。
在技术细节上，研究者们定义了与研究相关的名词和符号，比如用Z+表示正整数集，用x(k), y(k)和u(k)分别表示nx-, ny-, nu-维的向量。此外还定义了冲击时刻序列J，它满足一系列条件，比如每个冲击时刻τk之间的间隔至少为2，并且随着k的增加冲击时刻的序列表示为一个无限序列。
为了说明所提方法的有效性并展示离散时间切换脉冲系统可观测性和可及性特有的特征，本研究提供了几个数值例子进行讨论。数值例子的分析有助于验证新方法的实用性，并且能够直观地揭示所研究系统的特性。
通过这种方式，研究者们不仅为理解离散时间非线性切换脉冲系统的复杂动态提供了一个新的视角，也为实现更有效的系统控制策略提供了理论基础。这些研究结果对于工程实践中的系统设计和分析具有重要意义，特别是在需要精确控制的场合，比如机器人系统和数字控制系统。研究的进展有助于系统工程师更好地理解和设计复杂的动态系统，提高控制系统的性能和可靠性。
