自入射Nakayama代数的Hochschild上同调群的研究涉及代数结构、同调代数、表示理论等多个数学分支。在本文中，主要探讨了有限维零关系代数A的Hochschild上同调群的维数计算，这些代数通常被称为Nakayama代数。这里所述的“自入射”一词指的是代数自身的某种特定性质，即代数同态射自身的性质。Hochschild上同调群是代数研究中的一个重要概念，它是研究代数结构和代数之间的映射的有力工具。
我们来了解一下Hochschild上同调群的定义和它的重要性。对于一个给定的有限维结合代数A（含有单位元1），考虑A-A双模M，可以构造一个上同调复形（cochain complex）。这个复形的第n个部分由Hom集合组成，记作Hom(A, M)，以及由代数A上的边界映射组成。这些边界映射定义了一个复形，从这个复形中可以提取出A的第n阶Hochschild上同调群H^n(A,M)，它是一个同调群，反映了模M相对于代数A的代数结构特征。
文章中提到的“自入射Nakayama代数”是指一类特殊的代数，它们在代数理论研究中具有重要地位。这是因为Nakayama代数的结构相对简单，因此它们成为了研究代数性质的典型例子。而“自入射”的性质说明了代数在自身的表示范畴中的一些特殊行为。
文中还涉及到Hochschild上同调群与代数性质的联系，如代数的单连通性、可分性质以及形变理论。对于研究代数结构的变化和稳定性来说，这些联系是十分关键的。文中提及的Calabi-Yau代数是复几何中的一种代数结构，在代数理论中也占有一定地位。由于在某些情况下，Hochschild上同调群可以用来判定代数是否具有Calabi-Yau性质，所以研究Hochschild上同调群对于理解代数结构及其几何意义具有重要意义。
文章还提出了诱导的边界映射的概念。对于一个代数A和其表示，可以通过函子作用于特定的复形上构建出上同调复形。边界映射是由复形之间的映射诱导出来的，用于定义上同调群。而计算诱导的边界映射的核是确定上同调群维数的关键步骤。
在文章的主体部分，作者给出了具体的计算方法。通过构造一个代数A的极小投射左A-模分解，得到了一个复形，然后使用特定的函子作用于该复形，从而得到上同调复形。在此基础上，作者通过组合方法计算了自入射Nakayama代数A的系数在A乘以A的反代数中的各阶Hochschild上同调空间的维数。结果表明，对于自入射Nakayama代数A，当n大于等于1时，H^n(A,A乘以A的反代数)为零，而当n为0时，等于A自身的维数。这一结果与自入射Nakayama代数A在A自身的系数中各阶Hochschild上同调群维数的复杂度有显著区别。
在计算过程中，作者特别考虑了代数A作为域上的有限维零关系基本代数，即代数A是由有限箭图Q诱导出的代数，这里的箭图Q具有特定的顶点和箭向集。在这样的设置下，通过构造特定的代数A的诱导的边界映射，并分析其核，进而得到Hochschild上同调群的维数。
文章还讨论了代数在A乘以A的反代数中的Hochschild上同调群的计算，这一内容在代数表示理论中具有重要意义，尤其是在代数结构的分类和刻画方面。此外，文章还提出了一些引理和证明，用以支持文章中提出的主要结果。
这篇文章的主要贡献在于，它不仅提供了一种计算有限维零关系代数系数在自身系数下的Hochschild上同调群维数的方法，还通过特定类型的Nakayama代数展示了这一计算过程的具体例子。这对于理解代数结构、深入研究代数表示理论及其同调性质具有重要意义。
