王培光傅希林俞元洪 (1998年)

在本文中，王培光、傅希林和俞元洪三人针对一类具有连续分布滞量的双曲偏泛函微分方程的解振动性质进行了探讨。这种方程在数学物理问题中有着广泛的应用，尤其是在描述具有时间延迟或滞后的动态系统时显得尤为重要。本文的主要贡献在于提出了在特定边值条件下解振动的准则。 文章从数学角度对双曲偏泛函微分方程进行了形式化描述。方程涉及偏微分项、滞量项、以及积分项，其中滞量为连续分布型，意味着需要对延迟时间进行积分处理，这与离散型滞量的处理方式有所不同。 在给出方程的数学模型之后，作者详细阐述了三类边值条件。第一类边值条件是关于变量x和t的函数关系，第二类是基于单位外法向量的Neumann条件，第三类则是混合条件。针对这些边值条件，作者提出了对于解的振动性质的定义。 在研究解的振动性质时，通常会考虑解是否会在某个区域的内部始终不为零。对于本文中的双曲偏泛函微分方程，如果存在一个正数Λ，使得在空间区域与时间区间G内始终找不到一个点(x0, t0)，使得u(x0, t0)等于零，则称解在该区域内是非振动的；否则，解在该区域内被称为振动的。 为了得到振动准则，文章中提出了若干关键假设，这些假设包括系数函数a(t)、Ki(t)的连续性和正性，滞量函数p(x,t)、q(x,t,ν)的连续性，以及积分测度ρ(ν)的非减性质。这些条件为保证方程数学上良好的定义提供了基础。 在核心的分析部分，文章通过引入Dirichlet问题的最小特征值和对应的特征函数，建立了与原微分方程等价的中立型微分不等式。这一转换是为了利用已知的偏微分方程理论结果，从而得到问题解振动的充分条件。 文章中提出的引理1，是基于这样的思想：如果在特定的边值条件下，方程(1)的一正解满足引入的中立型微分不等式，则能够保证方程的解是振动的。这一引理实质上是通过构造一个与原问题解相关的积分方程来说明问题解的振动性。 文章还特别提到了积分项的Stieltjes积分特性，这使得研究的方程模型更加丰富和具有现实意义。Stieltjes积分的引入说明积分中包含的变量可以是离散的，也可以是连续分布的。这一积分形式的特性使得方程模型更贴近于某些物理系统的实际延迟行为。 文章的研究结果对于理解和分析具有连续滞量的双曲型偏微分方程具有重要的理论意义，同时对于那些时间延迟对系统行为影响显著的动态系统的设计和优化提供了理论支持。 此外，文章在描述数学模型时对连续滞量分布的处理方法，以及对三类不同边值条件的考虑，为后续的研究者提供了研究此类问题的范例和基础。这些研究不仅可以应用于纯数学问题的解决，还可能对工程应用、经济学、生物学等学科领域的动力系统建模和分析产生积极影响。 文章所发表的时间是1998年，这说明在那个年代，关于滞量为连续分布型的双曲偏泛函微分方程的研究尚处于起步阶段。这篇文章的出现为后来者提供了重要的参考和理论基础，尤其是在探索时间延迟对偏微分方程解性质的影响方面，迈出了具有里程碑意义的一步。