根据给定的文件信息，我们可以提取和总结以下知识点：
1. 长方矩阵的加权群逆（Weighted Group Inverse of Rectangular Matrices）：
文章讨论了两种加权群逆的概念。第一种由岑建苗定义，如果长方矩阵A和其对应的加权矩阵W满足特定条件，存在一个加权群逆A#W。第二种加权群逆Ag,W是在Cline与Greville的定义下讨论的。这两种加权群逆分别对应不同的矩阵方程组条件，其中A#W满足方程组（W1）、（W2）和（W3）。
2. 算法描述及数值算例：
文章旨在为计算这两种加权群逆提供有限算法。通过研究加权群逆的显式表示和代数扰动性分析，提出了不同的算法，并给出了相应的数值算例来验证算法的有效性。
3. 关键定义及性质：
- 定义了方阵A的指标（ind（A）），即满足rank(A^l) = rank(A^(l+1))的最小非负整数l。
- 核秩（core-rank（A））是通过方阵A的指标来定义的，即rank(A^k)。
- 投影算子PL,M的性质，包括它们在矩阵运算中的应用。
- 群逆的等价条件，这些条件涉及到矩阵A与其加权矩阵W的特定乘积的秩。
- （A#W）的显式表示，这可以简化加权群逆的计算过程。
4. 算法实现的理论基础：
- 介绍了用于描述和计算长方矩阵加权群逆的数学工具和理论。
- 给出了加权群逆存在的条件及其显式表示，这有助于理解算法背后的数学原理。
5. 数值算例的应用：
- 文章中提到的数值算例是算法研究的重要组成部分，它展示了如何将理论应用到实践中，并且可以用来验证算法的准确性和效率。
6. 研究的意义：
由于长方矩阵的加权群逆与长方矩阵的加权Drazin逆相关，研究其计算方法是数学领域特别是数值代数中的一个重要议题。它对于解决线性方程组和优化问题等方面具有潜在的应用价值。
以上总结的知识点涵盖了文章的主要内容，从理论定义到算法实现，再到实际应用的验证，每一个环节都是深入理解长方矩阵加权群逆及其有限算法所必需的。
