矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究.pdf

### 矩阵广义逆的性质、计算和几类线性系统的研究 #### 一、广义逆的性质及计算方法 ##### （一）广义逆的基本概念 广义逆是矩阵理论中的一个重要概念，它扩展了逆矩阵的概念到非方阵或不可逆的方阵上。对于一个矩阵\( A \)，如果存在一个矩阵\( G \)满足某些条件，则称\( G \)为\( A \)的一个广义逆。根据不同的条件，广义逆可以分为多种类型，如Moore-Penrose逆（简称M-P逆）、Drazin逆、组逆等。 ##### （二）基于Gauss消元法的广义逆表示 论文中提到一种基于Gauss消元法的新表示——广义逆\( A_g \)。这种方法不仅提供了一个简洁的表示形式，还给出了相应的计算步骤和计算量的估计。通过这种方式，可以有效地减少计算广义逆时所需的资源。 ##### （三）满秩分解表示及其应用 通过满秩分解得到广义逆\( A_{g^*} \)的不同表示，进而得到两种仿射组合表示。这些表示形式不仅简化了广义逆的计算过程，而且有助于理解广义逆的本质特性，从而应用于实际问题中。 ##### （四）加权共轭梯度法 构造了加权共轭梯度法的迭代公式，从而给出了加权M-P逆和M-P逆的有限迭代计算公式。这种方法为解决特定类型的矩阵方程提供了高效且实用的算法。 ##### （五）分块矩阵的性质 论文还分析了分块矩阵的行列性质，得出了分块矩阵的M-P逆、组逆和Drazin逆的表达式。这些结果不仅有助于深入理解分块矩阵的行为特征，还揭示了几种广义Schur补的商的等式。 #### 二、广义逆的代数扰动与修正理论 ##### （一）长方矩阵的广义逆代数扰动 通过对长方矩阵的值域和零空间进行再研究，论文给出了长方矩阵常见广义逆的代数扰动表达式，这简化了已有的结果并为处理实际问题中的误差提供了理论基础。 ##### （二）长方矩阵加权群逆的扰动 重点研究了长方矩阵加权群逆的分析扰动和代数扰动。这些结果对于理解和评估在实际应用中矩阵受到微小扰动时广义逆的变化至关重要。 ##### （三）\(a-p\)广义逆的代数扰动 论文得出\(a-p\)广义逆的代数扰动的相关结论。这些结论有助于理解广义逆在不同条件下的变化规律，对于提高计算精度具有重要意义。 ##### （四）Bott-Duffin逆的秩一修正 利用M-P逆的秩一修正理论，论文得出了Bott-Duffin逆和广义Bott-Duffin逆的秩一修正结果。这一部分的研究对于处理涉及秩不足的情况非常有用。 #### 三、几类线性系统的求解方法 ##### （一）矩阵方程的求解 本部分内容主要研究了几种矩阵方程的求解和逼近问题。包括利用广义逆的投影方法来研究矩阵方程对\( AX=B, XD=E \)的各种解，以及矩阵方程\( AXB+CXD=E \)的多项式求解方法等。这些方法不仅简化了解决矩阵方程的过程，也为后续的分析和应用提供了理论支持。 ##### （二）不定最小二乘问题 论文还探讨了不定最小二乘问题。定义了一种新的广义逆——广义加权广义逆，并研究了它的性质和计算方法。利用这种广义逆，可以有效地解决不定最小二乘问题的显式解。 该篇博士学位论文全面而深入地探讨了矩阵广义逆的性质、计算方法及其在不同线性系统中的应用，为矩阵理论的发展做出了重要贡献。这些研究成果不仅为学术界提供了宝贵的理论依据，也为实际工程问题的解决提供了有效的工具和技术支持。