在探讨非线性非完整系统相对于非惯性系的正则形式Routh方程之前，首先要明确非线性非完整系统的基本概念。非线性系统指的是系统的响应不是输入的线性函数，这意味着系统的行为随输入的变化是非线性的。在物理学中，非完整系统指的是那些受到非完整约束的系统，非完整约束是指不能仅通过位置坐标表述的约束，通常涉及速度或加速度。例如，系统中一个质点仅被允许沿着某一曲面移动，而不允许穿越曲面。
非惯性参照系指的是相对于惯性参照系在做加速运动的参照系，例如在地球表面研究问题时采用的参照系，由于地球的自转和公转，这个参照系就是非惯性的。在非惯性系中，需要引入惯性力来描述物体的运动状态，例如离心力和科里奥利力。
Routh方程是一类用以描述保守系统的运动方程的形式，通常用于分析多自由度系统的动力学问题。在本文中，杨再全和郑文虎所提出的新型Routh函数，是为了导出非线性非完整力学系统相对于非惯性系改进的Routh方程，并给出这类方程的正则形式。
Routh方程的正则形式意味着方程已转换为标准的形式，通常是指不含时间变量t的微分方程，便于处理和求解。在正则形式下，系统的运动方程将不包含时间变量，这意味着系统具有循环积分，这在理论分析和实际应用中极为重要。
为了构造改进的Routh方程，作者首先设定了力学系统在非惯性系中的位形由n个独立的广义坐标确定，这些广义坐标可以是位置、角度或其他物理量，系统的运动受到g个非线性非完整约束。每个广义坐标都有对应的广义速度，广义力，以及广义牵连转动惯性力等。广义力是指在广义坐标方向上作用于系统的所有力的总和。广义牵连转动惯性力涉及到物体随参照系一起转动时产生的惯性效应。均匀力场势能是指系统在均匀力场（如重力）中的势能。惯性离心势能和广义科氏惯性力是由于非惯性参照系的加速度运动而出现的虚拟力和势能。广义约束反力则是由于非完整约束对系统施加的力。
为了得到改进的Routh方程，作者引入了Lagrange函数，这是动力学中一个极为重要的概念，用于描述系统的动力学状态。通过Lagrange函数的构造和运算，可以得到描述系统运动的方程。在本文中，作者将传统的Routh方程形式和新型Routh函数相结合，给出了一个适用于非线性非完整系统在非惯性系下运动的改进方程。
为了验证所提出的改进Routh方程的正则形式和有效性，文章举例说明了方法的应用。这表明通过引入特定的数学工具和物理概念，可以有效分析并解决更为复杂力学系统的问题。
总体来说，本文的贡献在于提出了一个改进的Routh方程，该方程不仅适用于线性系统，还适用于非线性和非完整系统的动力学分析。同时，通过正则形式，该方程提供了一种新的研究非惯性参照系下系统运动的方式，这在理论物理学和工程学中都具有一定的意义。
