复射影空间是复数向量空间经过射影化得到的几何对象，其上的Fubini-Study度量是一种特殊的Kähler度量，在复几何与复分析中有着重要的地位。研究其上的全实子流形，特别是具有常数量曲率的子流形，对于理解复空间的几何结构有着重要的意义。全实子流形是指复空间中的实子流形，其上的每个点的切空间经过复结构映射到该点的法空间。本文所研究的子流形在几何上具有特殊的意义，即其上的第二基本形式模长平方是常数。
活动标架法是微分几何中研究流形的有力工具，它通过选取适当的标架场来简化研究对象的几何结构，使其更易于分析和计算。本文利用活动标架法研究了复射影空间中的全实子流形，并且证明了这类子流形是全脐子流形的刚性定理。全脐子流形是指其上的第二基本形式具有最大对称性的子流形，这类子流形在研究中具有特殊的几何意义。
在本文的研究中，使用了复射影空间的Fubini-Study度量，这是一种复结构下的Kähler度量，与复射影空间的全纯结构密切相关。复射影空间的复结构是由其中的一个对角线矩阵复结构定义的，而本文中的全实子流形是指切空间在复结构作用下被映射到法空间的子流形。
常数量曲率是指流形上每一点的曲率张量场都是常数，这种流形在局部上具有均匀的几何特性。具有常数量曲率的子流形与等温坐标系有着密切的联系，这在研究子流形的几何性质时，可以简化很多几何量的计算和估计。
在复射影空间中，复结构为J的复射影空间记为CPn+p。其中，n+p维复射影空间的全纯截面曲率为常数4。本文利用了复射影空间中的结构方程，这些方程描述了复射影空间的几何结构和子流形的内在几何性质。结构方程包括第一结构方程和第二结构方程，它们联系了流形的切向量场和法向量场，以及这些场的微分。
本文还介绍了平均曲率向量场的概念，它是在子流形上定义的内蕴向量场，和子流形的形状有关。全脐子流形是平均曲率向量场具有最大对称性的子流形，对于全脐子流形的研究，本文提供了具有常数量曲率的全实子流形的刚性定理，即在一定条件下，这样的子流形必须是全脐子流形。
研究中，本文涉及了Riemann曲率张量、法曲率张量、平均曲率、第二基本形式等几何量，这些都是微分几何中刻画流形内在曲率的重要工具。其中，标准化数量曲率R是度量子流形形状的一个重要量，它在几何分析中起着关键的作用。
通过一系列的数学推导和计算，本文得到了具有常数量曲率和平行单位平均曲率向量场的全实子流形必须是全脐子流形的刚性结果，并给出了具体的条件。这些条件涉及到了复射影空间的维度以及子流形的维度，是对之前研究结果的推广和深化。
作者刘敏和宋卫东在研究中引入和运用了活动标架法，以及复射影空间的结构方程，通过计算和推导得到了全实子流形的几何特性，为全实子流形的研究提供了新的视角和方法。这些研究成果在数学尤其是微分几何领域具有重要的理论价值和应用前景。
