•
第
36
卷第
10
期
2010
年
10
月
北京工业大学学报
JOURNAL
OF
BEIJING UNIVERSITY
OF
TECHNOLOGY
Vo
l.
36
No.
lO
Oc
t. 2010
一类广义
Camassa-Holm
方程的相图分析
李静，孙敏
(北京工业大学应用数理学院，北京
100124)
摘
要:为了研究一类广义
Camassa-Holm
方程的行波解问题，通过行波变换及平面非线性动力系统的分岔理
论，借助
Maple
符号计算软件程序，研究了一类广义
Camassa-Holm
方程的分岔特性，给出了该系统在不同分支参
数空间中的相图构型.
关键词:相图构成;广义
Camassa-Holm
方程;行波变换
中图分类号:
0
l7
5.
1
文献标志码
:A
文章编号:
0254-0037(2010)10-1428-05
非线性方程行波解的研究是非线性动力系统中的热点课题之一，为了寻找非线性方程中的精确解，尤
其是孤立波解，各国学者提出了许多方法以得到各类系统的孤立波解.
1993
年，
Camassa
和
Holm
[\]给出了
一个浅水波动方程
u
，
+
2ku.
-
u..
, +
3uu.
=
2u.u..
+
山时，称之为
Camassa-Holm
方程.
Camassa
和
Holm
证
明了当
k
=0
时，该方程有形如
u
=ce
四
Ix-ctl
的孤立波解，同时猜测当
k#O
时，该方程不存在孤立尖波解.
Cooper
等[
2
]和
Constantin
等
[3]
一些数学物理学家也认为，当
k
笋
0
时，
Camassa-Holm
方程只存在光滑孤立
波解，而不存在孤立尖波解，但在
2002
和
2004
年，
Liu
等[时]纠正了上述学者的错误论断，证实了对任意参
数
k
，
Camassa-Holm
方程具有孤立尖波解
U
=(c+k)e
-lz-ctl-k.Dai
等问]和
Li
等
[7]
在其他数学物理方程
中也发现了孤立尖波解.平面多项式向量场的分岔理论在波动方程行波解的研究中发挥了非常重要的作
用.
Li
等
[8.9
)运用该理论研究了一类机械系统的极限环分岔.作者研究了一类广义
Camassa-Holm
方程及
其相图分支，借助
Maple
符号计算软件给出了该系统在不同分支参数空间中的相图构型.
1
行波变换及平均方程
对广义
Camassa-Holm
方程
帆=÷(川
zu)
，
卡
(az
%Z
-a
z
)
=2ua
z
+
叽
、、，/
唱·且
''t
、
作行波变换
u=F(z-vt)
，
α =
X
(z
-
vt)
，~
= z - vt
，
则系统(1)可化为
ρ
(阳
X"
-X
幻)
=2
忖
fx
川
￡←
μ-2
忏
f
XX'd
句￡扣川+叫
4vc
川
c
为研究方便，以
z
替换
X
，
将式
(2)
化简整理可得
(2)
(x
-
c)
x"
=
卡+
(2
卜
CM-÷(
耳，
) 2
其中，
c
=ρ
;
k = -
2vc\.
引入非线性变换
(3)
'
生
=y
-y3
当=
(x
-
c)
(1 - 3y2)
d~
J
J'
d'T
式
(3)
可转化为如下
Hamilton
系统
(4)
收稿日期:
2008-07 -02.
基金项目:国家自然科学基金资助项目
(11072007
，
10732020)
;北京市自然科学基金资助项目
(1082002)
.
作者简介:李静
(1962
一)
，女，北京人，教授.
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