一个应力边界条件下平面弹性问题的Locking-Free有限元方法 (2007年)

在数学和工程领域，尤其是在应用力学和计算物理中，有限元方法（Finite Element Method，FEM）是一种常用的数值分析技术，用于通过离散化来求解偏微分方程。在处理平面弹性问题时，为了能够准确模拟材料在受到外力时的响应，必须使用合适的方法来模拟边界条件和材料属性。本研究针对应力边界条件下平面弹性问题，探讨了非协调有限元方法中出现的Locking现象，并提出了相应的解决策略。 Locking现象是指在某些情况下，如材料不可压缩性或应变硬化等特定条件下，有限元方法得出的结果表现出异常的数值行为，从而导致分析结果不准确或无法收敛至真实解。这种现象会严重影响计算结果的可靠性，特别是在处理几乎不可压缩的材料时更为显著。例如，当材料的Lamé常数λ趋于无穷大时，即接近于不可压缩材料，传统的协调有限元格式的误差估计会受到影响，导致求解不收敛或收敛速度非常慢。 为了解决这个问题，研究者提出了构造特殊的有限元格式来克服Locking现象，保持解对于参数λ的稳定性，并确保其在λ趋于无穷大时仍能一致收敛于真实解。具体而言，本研究提出了一种新的四边形单元构造方式，并给出了一种新的非协调有限元格式。这种格式不仅需要满足传统的有限元方法的精度要求，还要能够处理应力边界条件，并在数学上证明其收敛性。同时，研究者还给出了最优误差估计，保证了数值解与精确解之间误差的上界。 在构建新的非协调有限元格式过程中，一个关键的数学工具是所谓的第二离散不等式。这种不等式有助于保证有限元分析的稳定性，并确保了数值解的一致性。研究者通过混合有限元分析的方法来完成对新格式的收敛性分析。混合有限元分析是有限元方法的一种变体，其基本思想是引入额外的未知量来增强系统的稳定性，从而提高数值解的质量。 在这项研究中，特别关注了应力边界条件下的平面弹性问题。应力边界条件是指边界上的应力是已知的，而不是位移。这种条件在工程应用中很常见，例如在处理固定或简支的边界时。研究者通过将问题转化为等效变分形式，建立了数学模型来描述这种边界条件下的物理行为。变分形式通常会涉及到内积的定义，以及矩阵值函数的梯度计算，这些都是理解和应用有限元方法时不可或缺的数学概念。 此外，本研究还涉及到了物理问题的离散化过程，如位移向量的离散化和应变矩阵的定义。位移向量是描述材料变形的关键变量，而应变矩阵则描述了位移场的微分几何特性。对于弹性问题，通常需要求解一个能量最小化问题，即在所有可能的位移场中找到能量最小的一个。 在该论文中，作者赵中建及其合作者通过引入新的非协调四边形单元和格式，成功克服了Locking现象，为处理平面弹性问题提供了一种新的数学工具。这项工作不仅对理论研究具有重要意义，也为工程实践中的结构分析提供了新的数值方法。通过优化的误差估计，该方法能够在计算上更高效，同时保证了模拟结果的准确性。这使得有限元方法在处理复杂的平面弹性问题时，尤其是在材料几乎不可压缩的情况下，变得更为可靠和实用。