在数学领域中，特别是偏微分方程与调和分析的交叉部分，奇异积分算子及其交换子的研究一直是该领域的核心议题之一。奇异积分算子源自对椭圆型偏微分方程的研究，它们在处理这类方程中的变量系数问题时起到关键作用。该论文的标题“具有粗糙变量核的奇异积分交换子的L2(R2)有界性（2000年）”以及描述“建立了具有粗糙变量核k（x，y/|y|）|y|-n的奇异积分与BMO（R2）函数的交换子的L2（R2）有界性，这里k（x，?）∈Lp（S1），p>1”揭示了研究者Tang Lin与Yang Dachun在奇异积分交换子研究中的最新进展。
在这篇论文中，作者们首先回顾了变量Calderón-Zygmund核的定义，这类核是从研究具有变量系数的二阶椭圆偏微分方程中得来的。为了定义一个变量Calderón-Zygmund核，这个核必须在y的某个度数上正齐次，并且对于几乎所有的x，它的平均值为零。在这样的基础上，Calderón和Zygmund证明了如果核在S1上的Lp空间中，则相应的Calderón-Zygmund算子在L2(Rn)上是有界的。
该论文的主要目的是建立具有粗糙变量核的奇异积分交换子与BMO(R2)函数的L2有界性。作者们使用了BMO函数，即有界平均振荡函数，这是对一般Lp空间的一个补充，尤其是当p=∞时。BMO空间是由那些平均振荡有界但不必处处有界的函数所构成的空间。BMO函数在分析、偏微分方程和概率论中有着广泛的应用，尤其是在奇异积分的研究中。
在论文中，作者们定义了一个奇异积分交换子的模型，其由具有粗糙变量核k(x,y)的奇异积分和BMO函数A(x)组合而成，这个交换子被表示为一个卷积形式。证明了该交换子在L2(R2)上的有界性依赖于变量核k(x,y)在S1上的Lp空间性质。如果变量核满足特定条件，那么对于所有的L2(R2)函数f和BMO(R2)函数A，交换子满足L2(R2)的有界性。
论文的主要结果是通过一系列数学分析和估计技巧来证明的，其中包括奇异积分算子的积分表示、BMO函数的性质、以及调和分析中的一些基本理论。这篇论文不仅对变量Calderón-Zygmund核的奇异积分理论做出了贡献，而且在BMO函数的框架下，拓展了与奇异积分算子相关交换子的研究。它为后续研究者提供了新的工具和观点，特别是在研究与椭圆型偏微分方程相关的积分算子时。这些结果不仅丰富了数学理论，而且在处理偏微分方程中的自由度问题时，提供了实用的数学工具。
通过证明具有粗糙变量核的奇异积分交换子的L2(R2)有界性，这篇论文提供了理解奇异积分算子本质属性的新视角，并加强了在调和分析和偏微分方程研究中对于交换子的理论基础。这些进步不仅具有重要的理论意义，也为与之相关的实际问题提供了新的解决方案，比如图像处理、信号处理和其他领域中与奇异积分算子相关的应用问题。
