在图论领域中，强连通图是研究有向图中各顶点之间连通性的重要对象，它是描述网络流量、信息传输、关系链等场景下元素相互可达性的核心概念。极小强连通图是指在去掉任意一条边都会导致图的连通性降低的特殊强连通图。江卫新在2005年的研究中，专注于探讨了当图中的边数m等于顶点数n加1时的极小强连通图的具体结构，并给出了对应的充要条件。
文中定义了有向图的基本概念，包括顶点集、边集、最大度、顶点的度数、出度、入度以及邻点集。顶点的度数是指与该顶点相连的边的数量。出度和入度则分别指从该顶点出发和指向该顶点的边的数量。文章还提出强连通图的概念，即对于图中的任意两个顶点，都存在从任一顶点到另一顶点的有向路径。
在此基础上，引入了不可约矩阵的概念。对于矩阵A，如果它是一个(0,1)矩阵，即矩阵中的元素只包含0和1，那么它是(0,1)矩阵。特别地，n阶(0,1)方阵的集合表示为Bn。矩阵A的一条对角线是指集合T包含n个元素，它们的下标对应于矩阵中的行和列，形成一个对角线上的元素序列。如果这些元素均非零，则称这条对角线为非零对角线。
江卫新的研究中，首先探讨了极小强连通图D的邻接矩阵A必须是不可约矩阵的性质，这一性质是图D强连通的重要条件。文章还提到，完全强连通方向图的表征问题以及极小强连通图的本原指数集是目前的研究热点，但尚未有定论。
作者通过定理1阐述了极小强连通图的数量特征，当顶点数n大于等于2时，边数m满足n至2(n-1)的关系。特别地，当m等于n时，图D表现为一个有向圈；当m等于2(n-1)时，D是通过在树T的每条边上增加一对反向弧得到的图。
在极小强连通图的结构特征中，定理2是全文的核心，它表明当顶点数n大于等于3时，边数m等于n+1的极小强连通图D的结构只能是以下三种情况之一：两个有向圈共享一个顶点、两个有向圈共享一条有向弧，或者在一个有向圈内添加一条长度大于1的有向路。
文章进一步给出了定理2的证明过程，展示了如何从必要性和充分性两个角度来证明结论。充分性的证明部分，作者通过分析图中顶点的最大度数，进而根据最大度数的不同情况分别讨论了可能的图的结构。
在证明过程中，作者详细讨论了顶点的度数分布，并通过构造具体的有向图，展示在不同情况下图的结构变化。如在度数为4的情况下，作者构造了一个顶点v和其邻接点v1、v2、v3、v4，它们之间形成有向路的情况，并以此推导出图的结构是两个有向圈共用一个顶点。
对于定理2的证明，作者通过充分性部分，确定了顶点的度数约束，从而推断出可能的图结构。文章还探讨了当顶点数为3时，即最小顶点数情况下的图结构，验证了定理2的正确性。
江卫新的研究深入分析了m=n+1时极小强连通图的结构特征，并给出了严格的数学证明。这一成果不仅丰富了图论的理论体系，也为相关领域的实际应用提供了理论基础。对于有志于深入研究图论，特别是在研究强连通图和极小强连通图的学者和工程师来说，这篇文章提供了宝贵的参考。
