初等函数是数学分析中的基础概念，包括了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等。在教学和研究中，解初等函数方程是一个重要的课题。本文利用导数的方法给出了一些特定初等函数方程的求解方式，这些方法在实际教学和研究中具有重要的意义和应用价值。
对于满足条件j(x+y)=j(x)+j(y)，且j(0)=α（α为常数）的函数j(x)，可以证明其导数为常数α。根据导数的定义和可导函数的性质，可以得出j(x)的函数表达式为线性函数j(x)=αx。这个定理的证明过程利用了导数的定义，并通过代入特殊值来简化问题，最终利用导数的基本性质得到结论。
接着，对于定义在正实数域(0，+∞)上的正值可导函数j(x)，若满足j(xy)=j(x)j(y)，且j(1)=α（α为非零常数），可以通过引入对数变换将其转换为线性方程，进而通过积分得到幂函数的解j(x)=cx^a。这里，将复合函数通过变换转化为较易处理的形式是关键步骤。
第三个定理涉及到的是定义在全实数域R上的正值可微函数j(x)，且满足j(x+y)=j(x)j(y)，j'(0)=lnα（0<α<1），这类函数被称作指数函数。通过解微分方程的方法，可以得到j(x)=α^x的结论。在求解微分方程时，代入特定值如j(0)=1，并应用指数函数的导数与其自身成比例的性质，可以求出未知常数α。
定理4讨论的函数j(x)定义在正实数域(0，+∞)上，满足j(xy)=j(x)+j(y)，这一性质是指数函数的基本特征，通常用来定义指数函数。通过解微分方程得到的解为以某个常数为底的指数函数。
定理5探讨了满足特定关系的两个函数f(x)，g(x)。在这个定理中，利用了三角函数和指数函数的导数性质，结合了初等函数的基本方程，导出f(x)=sinx和g(x)=cosx的结论。这个问题的解决充分体现了对初等函数性质的深刻理解以及微分学方法在初等函数研究中的应用。
以上所述的定理和方法，都建立在对导数深入理解和运用的基础之上。导数作为分析初等函数的有力工具，在求解方程时起到决定性的作用。同时，通过引入特殊值来简化问题，运用代数变换和微分方程求解的技巧，都体现了数学问题解决中的一种典型策略。
本文所讨论的内容，在高等数学的教学中有重要应用，它不仅帮助学生深化对初等函数性质的理解，而且在解决实际问题时，导数求解初等函数方程的方法也显得非常有用。通过对特定初等函数方程的求解，可以加强学生解决实际数学问题的能力，尤其在物理学、工程学和其他应用科学中的模型建立中，这种技能显得尤为重要。
