第
25
卷第
5
期
2008
i
f
lO月
工程数学学报
CHINESE
JOURNAL
OF
ENGINEERING
MATHEMATICS
文章编号:
1005-3085 (2008) 05-0843-08
分数布朗运动环境中最值期权定价*
薛红，王拉省
(西安工程大学理学院，西安
710048)
Vo
l.
25
No.
5
Oct.
2008
摘
要.假定股票价格遵循由分数布朗运动驱动的随机微分方程，建立了分数布朗运动环境下金融市场数
学模型，利用分数布朗运动随机分析理论与未定权益定价方法，获得欧式未定权益一般定价公
式，并得到欧式最值期权价格的解析表达式以及平价关系。
关键词分数布朗运动:未定权益:最值期权
分类号:
AMS(2000)
60HlOj 90A06
中图分类号:
0211j
F830
文献标识码
:A
1
引言
衍生证券定价理论是金融数学的核心内容之二，在经典的Bl
ack-Scholes
定价模型中，假
定股票价格服从几何布朗运动，主要采用偏微分方程或轨方法，得到欧式期权定价公式
[1-3J
0
文
[4-5]
在假定资产价格服从儿何布朗运动情形下讨论了几种资产最值期权定价公式。虽然不少
学者对经典的Bl
ack-Scholes
定价模型做出了许多改进，但通常关于期权定价理论都是假设资
产价格服从由布朗运动驱动的随机微分方程。近年来，一些学者利用分数布朗运动驱动的随机
微分方程来描述资产价格变化过程
[6J:
其一，几何布朗运动的性质(马氏性，鞍性等)导致资
产价格也满足此类性质，比如未来某时刻的资产只与现在价格有关，而与过去价格无关，这就
与人们直觉相矛盾:由于分数布朗运动既不是半鞍也不是马氏过程，所以它能够描述半融和马
氏过程描述不了的现象:几何布朗运动仅仅是分数布朗运动
Hurst
参数等于
1/2
时的特殊情
形:其二，分数布朗运动具有自相似性和长期依赖性，这与人们对金融市场直观感觉一致，即
未来某时刻股票的价格不仅与现在价格有关，还与过去相当一段时间的价格有关。同时一些实
证分析也表明资产价格变化过程遵从分数布朗运动驱动的随机微分方程。所以利用分数布朗运
动驱动的随机微分方程来描述资产价格变化过程更加切合实际，而且许多国内外学者己开始从
事关于分数布朗运动的随机分析理论以及应用方面研究
[6-7J
。本文假定股票价格服从由分数布
朗运动驱动的随机微分方程，建立了分数布朗运动环境下的欧式未定权益定价模型，并得到
了欧式最值期权定价公式。关于分数布朗运动概念、性质以及随机分析等相关理论可参见文
献
[6-7]
。
2
欧式未定权益的定价模型
设金融市场
M
中有
η+1
种证券，
1
种无风险资产即债券，其价格满足方程
尸
(t)
=
rM(
仙。心
T
M(O)
=
1.
收稿日期:
2006-08-25.
作者简介:薛红
(1964
年
8
月生)，男，教授研究方向
z
金融数学，集值随机分析.
*基金项目:陕西省教育厅基金项目
(05JK207).
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