本文讨论了图论中的控制数与双控制数强相等的概念，并给出了基于对控制数与双控制数强相等的图的一个性质。在此基础上，进一步刻画了对控制数与双控制数强相等的树及单圈图的特征。
为了理解本文的研究内容，我们需要了解一些基本的图论概念。在图论中，一个简单图G是由顶点集合V和边集合E构成的数学结构。对于图G中的任意顶点v，N(v)表示v的开邻域，即与v相邻的所有顶点构成的集合，而N[v]表示v的闭邻域，包括v本身和所有与v相邻的顶点。顶点v的度d(v)等于其开邻域的元素个数，即d(v) = |N(v)|。在图中，度为1的点被称为叶点，叶点的邻点被称为支持点。
接下来，引入对控制数与双控制数的概念。一个顶点子集S如果满足N[S]等于V(G)，则称S为图G的一个控制集。如果S是一个控制集，并且由S导出的子图G[S]包含一个完美匹配（即一个边不相交的匹配且包含G[S]中所有的顶点），那么称S为G的一个对控制集。对控制集的最少顶点数称为G的对控制数，记为γp(G)。相应地，如果一个顶点子集S对于任意顶点v∈V，都有N[v]∩S≥2，即每个顶点至少有两个邻居属于S，那么S为G的一个双控制集。双控制集的最少顶点数称为G的双控制数，记为γ×2(G)。
特别地，如果图G满足任意选取的对控制集都是双控制集，同时任意选取的双控制集也都是对控制集，那么称对控制数γp(G)与双控制数γ×2(G)强相等，表示为γp(G)≡γ×2(G)。
本文的贡献在于提出了基于对控制数与双控制数强相等的图的一个性质，并证明了两个主要结果。第一个结果指出，如果连通图G满足γp(G)≡γ×2(G)，那么G要么是一条边（P2），要么至少有一个顶点的度数大于等于2。第二个结果是，对于一棵树T，当且仅当T只包含两个顶点（即P2）时，对控制数与双控制数强相等。对于一个连通单圈图，若其对控制数与双控制数强相等，那么这个图一定是一个圈。
这些性质和定理对于研究图的控制理论提供了新的视角，并且对于具有特定控制数属性的图的分类提供了依据。通过对控制数与双控制数强相等性质的研究，可以更好地理解图的结构特征以及顶点集合对于图结构的影响。此外，研究结果也为寻找具有特定控制性质的图提供了工具，有助于图论及相关领域进一步的理论发展和应用研究。
