一类非光滑广义凸函数的数值解法 (2009年)

在现代工程问题中，全局优化方法发挥着越来越重要的作用，尤其是在处理非光滑问题时，其需求尤为迫切。全局优化问题通常是指在某个定义域内寻找一个或多个变量的最优值，使得目标函数达到全局最小或最大。由于这类问题的复杂性，特别是当问题具有非光滑特性时，有效的数值求解算法并不多。 非光滑广义凸函数是指一类函数，它由两部分组成：一部分是可微的严格拟凸函数，另一部分是凸函数。这类函数在最优化理论中具有特殊的地位。为了研究这类函数的全局优化问题，文章提出了一种基于广义梯度的算法，并证明了算法的全局收敛性。下面详细阐述相关的知识点。 对于严格拟凸函数的定义，它是一种特殊的函数，在给定的定义域内对任意两点和任意正实数，满足插值函数值的不等式。这意味着通过这两点可以作出一个严格拟凸函数的图形。如果函数在局部Lipschitz连续，并在某个点达到局部最优，则该点的广义梯度包含零向量。 广义梯度是局部Lipschitz函数在某点的次微分的上确界，它提供了一种处理非光滑问题的方法。在非光滑最优化问题中，广义梯度的概念被用来确定下降方向。下降方向是指在目标函数下降的方向，其中一种方法是利用广义Armijo步长搜索来得到这样的方向。 文章提出了一种处理非光滑广义凸函数全局优化问题的算法，并通过理论证明了算法的全局收敛性。该算法的关键在于使用广义梯度来给出下降方向，以及确定算法的终止条件。文章首先定义了Lipschitz函数，并指出凸函数和可微函数都是Lipschitz函数，它们的和也是Lipschitz函数。这为后续算法的设计提供了理论基础。 接着，文章介绍了三个重要的引理。引理1指出，如果局部Lipschitz函数在某点达到局部最优，则该点的广义梯度包含零向量。引理2则说明了如果局部Lipschitz函数在某点的广义梯度不包含零向量，则可以找到一个下降方向，使得函数值在该方向上是递减的。引理3表明，对于两个凸函数之和，可以分别计算它们各自的梯度和广义梯度，然后将它们相加来得到和函数的广义梯度。 在具体实施算法时，文章通过引入恰当罚函数法，将问题转化为一个更容易处理的等价问题。在此基础上，文章将原问题拆分为两个部分，第一部分是可微的严格拟凸函数，第二部分是凸函数。由于这两部分都是比较容易处理的函数类型，所以这样的转化有助于简化算法的实现。 文章证明了所提出的算法能够在理论上保证全局收敛性，即无论从何种初始点出发，算法最终都能达到问题的全局最优解。这一点对于任何全局优化算法来说都是至关重要的，因为全局最优解的获得意味着解决了最优化问题中最为本质的挑战。 文章通过对非光滑广义凸函数的特性分析，引入了广义梯度的概念，提出了一种创新的全局优化算法，并给出了算法的全局收敛性证明。这对于最优化理论及工程应用领域具有重要的理论和实际意义，为后续非光滑全局优化问题的研究提供了新的思路和方法。