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第４８卷第 １期
２ ０ ０ ８ 年 １ 月
大 连 理 工 大 学 学 报
Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｄａｌｉａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
Ｖｏｌ ．４８ ， Ｎｏ ．１
Ｊａｎ ． ２ ０ ０ ８
文章编号 ：１０００‐８６０８（２００８）０１‐０１０５‐０７
复 杂 不 均 匀 地 层 中 地 下 结 构 波 动 响 应 频 域 分 析
林 皋
倡 １
， 任 红 梅
１ ，２
（ １ ．大连理工大学 土木水利学院 ，辽宁 大连 １１６０２４ ；
２ ．同济大学 土木工程防灾国家重点实验室 ，上海 ２０００９２ ）
摘要 ：
研究了不均匀岩土介质中隧洞衬砌的波动响应 ．比例边界有限元法被用来求解这一
类问题 ．这种方法的优点是只需在边界上用有限元进行离散 ；无限介质的辐射条件自动得到
满足 ；对一般不均匀介质的分析可不增加额外的工作量 ．方法的有效性得到二维无限空间中
圆形孔洞在水平向 ＳＶ 波入射作用下波动响应的验证 ．计算了马蹄形隧洞衬砌周边的应力分
布 ．不均匀的围岩介质包含几种情况 ：一是含两种不同特性介质的不连续界面 ；另一是围岩中
含软弱夹层 ．数值结果表明 ：在两种不同特性介质的不连续界面附近 ，以及在软弱夹层附近都
会出现应力集中现象 ．两种介质特性差别愈大 ，应力集中程度愈高 ．此外入射波的频率愈高 ，
应力集中现象也愈明显 ．这些结论对于地下结构的抗震设计将具有重要参考价值 ．
关键词 ：比例边界有限元法 ；地下结构 ；波动响应 ；不均匀岩土介质
中图分类号 ：Ｔ Ｕ４３ ；Ｔ Ｕ９ ；Ｕ４５ 文献标志码 ：Ａ
收稿日期 ：２００６‐０１‐１０ ； 修回日期 ：２００７‐１２‐１１ ．
作者简介 ：林 皋
倡
（１９２９‐） ，男 ，教授 ，博士生导师 ，中国科学院院士 ．
０ 引 言
由于城市建设的发展 ，地下空间已经作为一种
重要资源被广泛利用 ．地下工程建设规模日益发展
壮大 ．我国是一个多地震的国家 ，据不完全统计 ，我
国大 、中型城市 ８０％ 以上位于地震区 ，地下结构的
抗震安全受到人们广泛关注 ．地下结构地震响应分
析实质上是求解地下结构与围岩无限介质的动力
相互作用问题 ，在无限远处要求满足 Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ
辐射条件 ．由于问题的复杂性 ，一般文献中都将围
岩作为均匀无限介质处理 ，使问题得到一定程度的
简化 ．然而 ，地下结构多处于复杂的地质环境条件
下 ，因此 ，研究复杂不均匀地层中地下结构的地震
响应具有十分重要的意义 ．本文在比例边界有限元
的基础上 ，提出复杂不均匀介质中地下结构地震响
应的求解途径 ．比例边界有限元法（ＳＢＦＥＭ）
［１ 、２］
和
有限元法 、边界元法一样 ，是求解大型科学与工程
问题的有效数值计算方法 ，同时兼具有有限元法和
边界元法的优点 ．这种方法由 Ｗｏｌｆ 和 Ｓｏｎｇ 提出 ，
只需在求解域的边界上进行离散 ，从而可以达到对
问题降维的目的 ，节省了计算工作量 ；但又不必像
边界元法那样需要求得问题的基本解 ，避免了求解
奇异问题的复杂数学处理 ．这种方法的一个突出优
点是可以方便地求解结构与无限介质的动力相互
作用问题 ，自动满足无限远处的 Ｓｏｍｍｅｒｆｅｌｄ 辐射
条件 ，对于复杂不均匀的无限介质基本上不增加多
少工作量 ．
１ 比例边界有限元法的基本方程
在 ＳＢＦＥＭ 中首先选择相似中心 Ｏ（图 １） ，然
后进行边界离散 ．离散只在边界 ＡＢＣＤ 上进行 ，
并且从 Ｏ 点发出的射线边界 Ａ Ａ
′
、ＤＤ
′
也不必离
散 ．然后进行比例边界坐标变换 ．在二维情况下的
变换方程形式如下 ：
ｘ（
η
） ＝ Ｎ（
η
）ｘ
ｙ
（
η
） ＝ Ｎ（
η
）
ｙ
（１）
式中 ：
ξ
、
η
为比例边界坐标 ，在边界 ＡＢＣＤ 上
ξ
＝
１ ，无限域内
ξ
＞
１ ；ｘ 、
ｙ
为
η
的函数 ；Ｎ 表示形函
数 ；坐标 ｘ
＾
、
ｙ
＾
为
ξ
、
η
的函数 ，如下式所示 ：
ｘ
＾
（
ξ
，
η
） ＝
ξ
Ｎ（
η
）ｘ
ｙ
＾
（
ξ
，
η
） ＝
ξ
Ｎ（
η
）
ｙ
（２）
类似地 ，对计算域内任一点的位移成立以下关系 ：
ｕ（
ξ
，
η
） ＝ Ｎ（
η
）ｕ（
ξ
） （３）
式中 ：ｕ（
ξ
） 为从 Ｏ 点发出的射线上坐标为
ξ
点的
位移 ．
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