A truncated nuclear norm regularization method based on weighted residual error for matrix completion
本文介绍的是一种基于加权残差误差的截断核范数正则化方法，用于矩阵补全任务。矩阵补全是计算机视觉等领域中一个非常重要的问题，其目的是从矩阵的部分已知信息中恢复出完整的矩阵。目前，低秩矩阵补全已广泛吸引了众多研究人员的关注。
传统的矩阵补全方法大多将问题表述为低秩矩阵近似问题。核范数是矩阵秩的常用近似，但核范数正则化方法在实际应用中存在收敛速度慢和对截断奇异值数量敏感等问题。为了解决这些问题，提出了一种新的截断核范数正则化方法（Truncated Nuclear Norm Regularization, TNNR），该方法相比核范数最小化方法具有更快的收敛速度。然而，TNNR方法在处理截断奇异值数量变化时不够稳健，并且需要大量的迭代次数才能收敛。
为了解决TNNR方法的不足，本文中提出了基于加权残差误差的TNNR方法（TNNR-WRE）及其扩展模型（ETNNR-WRE）。TNNR-WRE在增广拉格朗日函数中为残差误差矩阵的每一行分配不同的权重，从而加速了TNNR方法的收敛速度。ETNNR-WRE相较于TNNR-WRE、交替方向乘子法（TNNR ADMM）和带线搜索的加速近似梯度方法（TNNR APG），在对截断奇异值数量的鲁棒性上表现得更好。
矩阵补全问题已在图像处理、机器学习等领域得到了广泛应用。大多数现实世界中的数据都可以表示成矩阵的形式，而在实际应用中我们往往只能获取到矩阵的一部分数据。矩阵补全技术的目标就是利用这些有限的数据信息，重建出原始矩阵。
本文提出的TNNR-WRE和ETNNR-WRE方法在实验中显示出优越性。使用合成数据集和真实视觉数据集进行的实验结果表明，这两种新提出的算法在性能上超过了TNNR以及迭代重加权核范数（Iteratively Reweighted Nuclear Norm, IRNN）方法。
在介绍矩阵补全问题的研究背景时，文章还提到了截断核范数的定义，这是对传统核范数方法的一个改进。截断核范数是利用矩阵的奇异值分解（SVD），并且通过截断部分奇异值来更精确地近似矩阵的秩。TNNR正则化方法正是基于这一概念，并通过优化算法实现低秩矩阵补全。
矩阵补全在解决现实世界问题中具有广泛的应用价值。例如，在图像处理中，可能由于数据损坏或丢失，我们只能获得图像矩阵的部分数据。矩阵补全技术可以用来从这些不完整的数据中恢复出完整的图像。同样，在推荐系统中，用户对商品的评分矩阵可能是稀疏的，矩阵补全可以帮助我们更准确地预测用户的偏好。在生物信息学中，也可以利用矩阵补全技术，通过部分基因表达数据来推断缺失的数据，从而进行疾病诊断和治疗方案的制定。
文章提到了该研究得到了中国国家自然科学基金的资助。这表明该研究得到了学术界的认可，并且有了一定的资金支持，为后续的深入研究提供了保障。通过本研究，可以预见在不远的将来，低秩矩阵补全技术将在各个领域发挥更加重要的作用。
