在1987年的这篇关于多项式求根的并行算法收敛性的论文中，作者探讨了通过并行计算手段求解多项式所有根的算法的收敛性质。文章中提出的问题是，是否存在一种算法，可以在并行计算环境下有效率地求解一个给定的n次多项式的根，同时保证算法的收敛性。
多项式的求根问题一直是数学和计算机科学领域中的重要问题。在传统的串行计算框架下，已有许多算法被提出来解决这一问题，比如牛顿迭代法等。但是，随着并行计算技术的发展，人们开始关注如何在并行计算环境下进行多项式的求根，以及并行算法对于收敛性的影响。
在这篇论文中，作者引用了Durand和Kerner提出的并行算法。该算法可以接受一个多项式的系数作为输入，然后输出该多项式的根。作者通过对该算法进行分析，给出了该算法收敛的充分条件。具体来说，如果迭代算法满足了某些特定的连续性条件，那么这个算法就能够收敛到多项式的根。
为了验证并行算法的收敛性，作者引入了某些特定的函数记号，比如函数g(r)，以及与之相关的其他函数和定理。这些函数和定理为分析算法的收敛性提供了理论基础。文章中提到的“迭代序列”是指通过迭代过程逐步逼近多项式根的一系列数值。
此外，论文还探讨了算法的收敛速度。作者指出，在特定条件下，算法的收敛速度可能是二阶的，这表示误差会以平方的速率减小。同时，论文也提到，如果多项式具有重根，那么算法的收敛速度可能是线性的，并且此时误差估计是最优的。这意味着，在某些情况下，算法能够以更快的速度收敛，尤其是在多项式不存在重根的情况下。
作者还研究了条件(7)是否可以放宽的问题。根据他们的研究结果，条件(7)是不能放宽的。在特定的条件下，存在一个与多项式的次数有关的常数Bη，如果g(2,Bη)的值大于1，则可以找到一个特定的多项式f(x)，使得迭代序列不会收敛到多项式的根。这是通过构造一个具有复数根的多项式来证明的。这一部分的研究结果对于理解并行算法在处理多项式求根问题时的局限性具有重要意义。
论文的另一项重要工作是误差估计。作者提出了定理2，给出了在特定条件下，迭代序列误差的界限。这意味着，根据定理2，我们可以预估在并行算法运行过程中，迭代序列与多项式根之间的误差将如何变化。
这篇论文深入研究了并行算法在求解多项式根问题上的收敛性质，并且提出了严格的数学证明和条件，为后来的研究者提供了理论基础和新的研究方向。通过对算法的深入分析，作者展示了并行计算在处理此类数学问题时的潜力和局限性，为未来的研究提供了重要的参考。
