利用RKDG有限元方法追踪运动界面 (2008年)

本文首先介绍了用于运动界面追踪的Level Set方法，并简要分析了其优缺点。与其它的界面追踪方法相比，Level Set方法较灵活，无须进行复杂繁琐的界面重构，编程简单，所需要的计算量和存储量不大。然后将RKDG有限元方法推广到Level Set方程的求解，对二维流体中常见的常数流场、旋转流场和剪切流场做了追踪模拟，并与其它几种运动界面追踪方法做了比较。数值实验表明，本文的方法可以比较准确地捕捉运动界面，得到了分辨率较高的计算结果。 ### 利用RKDG有限元方法追踪运动界面 #### 一、引言 在科学研究和技术应用领域，追踪运动界面是一项非常重要的任务。特别是在流体力学、材料科学和生物医学等领域，精确追踪不同物质间的界面对于理解和预测物理过程至关重要。本文探讨了一种基于Level Set方法结合RKDG（Runge-Kutta Discontinuous Galerkin）有限元方法来追踪运动界面的技术。 #### 二、Level Set方法简介 Level Set方法是一种广泛应用于追踪运动界面的有效技术。它通过定义一个高维空间中的等值面函数φ(x, t)，来追踪随时间变化的界面位置。这种方法的核心优势在于： - **灵活性**：无需显式地追踪界面，能够轻松处理复杂形状和拓扑结构的变化。 - **简单性**：编程实现相对简单。 - **计算效率**：所需的计算资源较少，存储需求不大。 然而，Level Set方法也有其局限性，例如可能会出现界面模糊等问题，但这可以通过适当的数值方法来缓解。 #### 三、RKDG有限元方法 RKDG有限元方法是一种高度灵活且有效的数值方法，适用于解决偏微分方程，特别是那些包含强烈非线性和间断现象的方程。该方法由Cockburn和Chi-Wang Shu等人提出，最初用于求解中子输运方程。RKDG方法的主要特点包括： - **处理间断的能力**：能够有效地处理解中的间断现象。 - **适应复杂边界条件**：适合于处理具有复杂边界条件的问题。 - **高阶收敛性**：提供(k+1)阶的收敛性，其中k是多项式的阶数。 #### 四、结合Level Set与RKDG方法 本文将RKDG有限元方法应用于Level Set方程的求解，旨在提高追踪运动界面的精度和效率。具体步骤如下： 1. **构建Level Set方程**：首先定义Level Set方程，该方程描述了等值面函数φ(x, t)随时间的变化规律。 2. **RKDG离散化**：利用RKDG方法对方程进行空间离散化，得到一系列局部的基函数表示解。 3. **时间积分**：采用Runge-Kutta方法进行时间积分，以追踪φ(x, t)随时间的演化。 #### 五、数值实验与比较 为了验证该方法的有效性，本文进行了多个数值实验，包括二维流体中的常数流场、旋转流场和剪切流场。实验结果显示，该方法能够准确地追踪运动界面，并且相比其他追踪方法具有更高的分辨率。 - **常数流场**：在简单的常数流场中，界面的运动轨迹被准确地捕捉。 - **旋转流场**：对于旋转流场，界面随着流体旋转而旋转，实验结果展现了良好的稳定性和准确性。 - **剪切流场**：在剪切流场中，界面会经历复杂的形变，本方法依然能保持较好的追踪效果。 此外，还将本方法与其他几种常见的界面追踪方法进行了比较，包括格子类方法、VOF方法和波前追踪方法。结果显示，本方法不仅在准确性方面表现优秀，而且在计算效率和编程简便性方面也具有明显优势。 #### 六、结论 通过将RKDG有限元方法与Level Set方法相结合，本文提出了一种高效且精确的追踪运动界面的新方法。该方法不仅能够准确地捕捉到复杂的界面运动，而且在编程实现上较为简单，计算资源消耗较低。未来的研究可以进一步探索该方法在更复杂流场中的应用，以及与其他高级数值技术的结合，以进一步提高其性能和适用范围。