紧Lie群上Fourier级数的Gauss-Weierstrass型平均的逼近性质 (1988年)
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1988
年
5
月
紧Li
e
群上
F
ouri
er
级数的
Gauss
W ei ers t
rass
型平均的逼近性质*
许增福
(安徽大学，合肥)
设
G
为连通、半单的紧Li
e
群
•
J
εL
1
(G)
的
Fourier
级数
J-
L
dλ
X
.t.
J(
g)
lEA(
G)
的
Gauss-Weierstrass
型平均为
"
_-1
.1+川、-.
G~
<I，
g)=
L
e-
,
^'P
, ß d
.t
X
.t
.J(g)
, a> O
lEA(G)
数学研究与评论
第八卷第二期
当 G
为可交换群时
，
G~(J
，
g)
实际上就是多重
Fourier
级数的
Ga
uss-
Weierstrass
型平均，
6.
11.
rOJIy6oB
在文
[1J
中研究了它的一些逼近性质.本文在
G
为不可交换群时对
G~(J
，
g)
作了研究，推广了[1
J
中的主要结果，并给出了
G~(J
，
g)
对可微函数的一致逼近阶.
定义与结果
设
L
为
G
的Li
e
代数
T
为
G
的极大环群
H
为
T
的Li
e
代数
dimG=n
，
dimT=I
，町，
…,
a".
为
H
上全体正根，则
n=
2m
+1.
设
B
(',
.
~为
L
上由
Killing
形式构成的不变内积，
δ
为
G
上由
B
卜，
.)产生的不变
Riemann
度量
，
p(e
,
exp
h)
=
[B(h
，
的]归
=1
叫，
hεQ.
这里
e
为
G
的么元，
βxp
为
L
到
G
的指数映射，
Q
为
T
的中心在
O
点的基本区域.
设
fεL
P
(
G)
，定义
f
的连续模及光滑模如下
z
ω
(J
，
t;p)
=sup{IIRgJ-Jllp
,
P(g
，
e)<
叶，
ω
2(J
，
t;
p)
=sup{
11
R g'
J-
2R
g/
+
JII
P;
p(g
,
e)<:tl
,
这里
RgJ(gl)
=
J(glg)
,
1<:p<:
∞，当
p=
∞时就简记为
ω
<1，
t)
和
ω
2(J
，t>.
设
X
1
，
…
，
X
n
为
L
关于
B(
"
.)的一组标准正交基·若
f
为
k
次可微，且对任何
X
(I)
,"',
X(kl
εL
有
X
(k)
X(
卜
D...
X
(l)J
εL
P
(
G)
，则定义
ω
(J(O)
，
f;p)
ω
(J
，
f;p)
，
ω(f
(k}
, fp
p)=
Lω
(X
俨
XJ
，
rz
p)
',.…
,i. = 1
当
p=
∞时简记为
ω
(J
(k
>,t>
•
这里
X
J
(~~
=
{dd
t
J
(g
e
xp
t
X)}
t = 0 , g E
G;
X
ε
L.
设
ω
为凸连续模
r
为非负整数
，
0< y<: 2,
0
<
σ
<:1
，
l<p<
∞，定义函数类如下
z
•
1985
年
9
月
28
日收到·本文得到国家自然科学基金资助.
一-
221
一-
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