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第 38 卷 第 6 期
2011 年
北京化工大学学报(自然科学版)
Journal of Beijing University of Chemical Technology (Natural Science)
Vol. 38, No. 6
2011
非线性多组分色谱模型数值算法研究
刘东梅摇 黄晋阳
*
(北京化工大学 理学院, 北京摇 100029)
摘摇 要: 构造了一种适合求解非线性多组分色谱模型的变步长迎风算法,空间网格分布基于解的关于空间变量的
一阶导数大小和二阶导数大小的适当组合。 对双组分非线性色谱的数学模型用所构造的算法进行了数值计算,并
与等步长迎风格式的相应计算结果进行了比较,计算结果表明本文构造的变步长算法能够更好的模拟非线性色谱
模型。
关键词: 双曲型守恒律; 多组分; 非线性色谱; 变步长
中图分类号: O241
收稿日期: 2011-05-16
第一作者: 女,1985 年生,硕士生
*通讯联系人
E鄄mail: huangjy@ mail. buct. edu. cn
引摇 言
色谱法是 20 世纪 60 年代发展起来的一种新型
分离分析技术,在很多领域以及科学实验中都有广
泛的应用。 色谱模型一般属于微分方程中的双曲型
守恒律的初边值问题。 非线性双曲型守恒律可能存
在间断解,在进行数值模拟时,传统的数值算法难以
较精确模拟。
与传统的数值算法相比,变步长算法的最大优
势在于其可在解变化较大处,特别是激波处分配较
多的节点,可以在网格节点不增加的情况下较准确
地模拟方程的解。 Kulkarni 等
[1]
在计算实际问题时
提出了基于空间变量的二阶导数大小来控制网格分
布的算法,对于模拟具有缓慢移动的陡峭波面解的
模型,可以比传统的变步长算法得到更为精确的结
果。 Huang 等
[2]
进一步提出了基于空间变量的一阶
导数大小和二阶导数大小的适当组合来控制网格分
布的算法,构造了一个等步长与变步长之间的映射
函数,此函数是一个与已知函数的一阶和二阶导数
相关的常微分方程,通过求解此常微分方程,可以将
步长由等步长转化为变步长。 有学者
[3 - 6]
通过将变
化的空间网格,提出一些变步长的高阶有限差分模
拟方法,并对地震波进行模拟,得到较好结果。
本文基于文献[2] 的思想,针对非线性多组分
色谱模型构造了一种变步长迎风算法,并利用文献
[7]中的双组分非线性色谱数学模型的数据进行模
拟计算。 计算结果表明,所构造的算法与等步长算
法相比,模拟非线性多组分色谱模型效果较好。
1摇 非线性多组分色谱模型
图 1 为色谱过程示意图。
图 1摇 色谱过程示意图
Fig. 1摇 Schematic diagram of the chromatographic process
摇
沿着色谱柱的方向,空间坐标为 x,组分在流动
相中的浓度函数为 c(x, t),组分在固定相中的浓度
函数为 q(x, t),组分的线速度为 u,流动相体积与
固定相体积之比为 F( 即相比)。 根据质量守恒定
律,得到色谱的数学模型
[8]
鄣
c
鄣
t
+ F
鄣
q(c)
鄣
t
+ u
鄣
c
鄣
x
= 0,(t > 0,0 < x < L)
c |
t = 0
= 渍(x),c |
x = 0
= 鬃(t
{
)
(1)
其中 c = ( c
1
,c
2
,…,c
n
)
T
,q = ( q
1
,q
2
,…,q
n
)
T
,n 代
表样品中组分的个数;L 为色谱柱长度,渍(x)为初始
流动相浓度,鬃( t) 为色谱注入端流动相注入浓度。
若 q 关于 c 非线性,式(1)即为非线性色谱模型。
令
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