数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并通过数学工具解决这些问题的科学。数学模型是数学抽象的产物，它们反映了现实世界中某些系统、现象或对象的特征和数量关系，是用数学语言表达的一种结构。
一、数学模型的分类
数学模型可以分为符号模型和理论模型两大类。符号模型包括数学概念、公式、关系式、几何图形、定理以及算法系统和理论体系等，它们通常源于现实世界中的具体事物或关系，并采用数学符号和语言抽象概括出来。而理论模型则是在符号模型的基础上，进一步通过抽象和假设，构建出能模拟或近似描述原型行为的数学结构。
二、建立数学模型的方法与原则
建立数学模型的过程应该遵循以下原则：
1. 简化原则：在建立数学模型时，应当尽量简化原形，抓住主要因素和主要变量，通过合理假设减少系统中的变量个数，构建一个尽可能简单且能反映现实原型本质特征和数量关系的低阶模型。
2. 可推演原则：数学模型必须具有数学意义，能够通过理论分析、计算和推理，推演出确定的结果。模型的数学结构和推演过程必须逻辑严密，可以被数学证明。
3. 反映性原则：数学模型必须真实地反映原型的特征和关系，与原型具有一定的“相似性”。模型的解应当能够回到具体研究对象中，解决实际问题。
建立数学模型的一般步骤包括：
1. 建模准备：对实际问题进行充分的分析和理解。
2. 化简假设：基于建模准备提出的假设进行简化，确保假设合理且符合实际情况。
3. 建立模型：将实际问题转化为数学问题。
4. 模型求解：对转化后的数学问题进行求解。
5. 模型分析与检验：对模型及解进行多方面的分析讨论，验证数学解是否能对应实际问题的解。
6. 模型的应用：明确指出模型的适用范围，并实事求是地应用于具体问题。
三、数学模型的应用实例
文章中以某学院教师岗位绩效工资的分配方案为例，说明了如何通过数学建模的方法解决实际问题。在建模过程中，首先分析了教师的职称级别和工资情况，以及工资增长的原则。接着进行了建模准备，提出了几个简化假设，比如不考虑教师的特殊贡献、假定用于增加工资的资金总额稳定等。然后，通过建立适当的数学模型，确定了符号定义和模型求解的方法，并最终对模型进行了分析和检验，以确保模型解决实际问题的有效性。
通过这个例子，可以看出数学建模的过程需要对实际问题进行深入的分析，需要做出合理的假设简化问题，然后构建模型并求解，最终通过分析和检验确保模型的实际应用价值。这个过程中，对实际问题的理解、模型假设的合理性、模型的简化程度以及模型的检验都是至关重要的因素。
