针对采购商与供应商在准时采购中关系的不同,建立了供应链中单采购商对多供应商的两种不同博弈模型,求得模型均衡解并通过算例比较分析。研究表明实施激励机制可以有效提高采购商服务水平,采购商对不同的供应商应采用不同的激励机制。
根据提供的文件信息，本文主要探讨了结合非局部均值去噪算法与偏微分方程（PDE）能量变分模型中的Perona-Malik（PM）模型，并使用Split-Bregman迭代算法来实现这一过程的技术细节。接下来，我们将详细阐述文件中提及的关键知识点。
### 一、非局部均值去噪算法
#### 1.1 非局部均值算法的基本原理
非局部均值去噪算法由Yaroslavsky等人首先提出，其核心思想在于利用图像中的重复模式或相似区域来进行去噪。该算法假设图像中存在许多相似的邻域，并利用这些邻域之间的相似性来估计每个像素点的值。具体而言，对于图像中的每个像素点\( x \)，非局部均值算法会计算其与图像中其他像素点邻域的相似度，然后根据相似度对这些邻域内的像素值进行加权平均，从而得到\( x \)点的去噪后值。
#### 1.2 公式表示
Buades等人提出的非局部均值算法公式可以表示为：
\[ u(x) = \frac{\sum_{y\in\Omega} w(x,y) u(y)}{\sum_{y\in\Omega} w(x,y)} \]
其中，\( u(x) \)表示像素点\( x \)去噪后的值，\( u(y) \)表示与\( x \)相似的其他像素点\( y \)的原始值，\( w(x,y) \)是\( x \)和\( y \)邻域相似度的权重函数。
### 二、PM模型
#### 2.1 PM模型概述
Perona 和 Malik 在1990年提出了基于偏微分方程的能量变分模型，即PM模型。该模型是一种有效的边缘保持扩散方法，能够有效地去除噪声同时保持图像的边缘特征。PM模型的基本思想是在图像的平坦区域进行扩散，在边缘区域减少扩散，以达到保持边缘的同时去除噪声的目的。
#### 2.2 PM模型的数学表示
PM模型的能量泛函表示为：
\[ E(u) = \frac{\lambda}{2}\int_{\Omega}(u-f)^2 dxdy + \int_{\Omega}\phi(|\nabla u|) dxdy \]
其中，\( f \)是原始含噪声图像，\( u \)是去噪后的图像，\( \lambda \)是平衡参数，\( \phi(|\nabla u|) \)是非线性扩散项。
对于PM模型，扩散函数\( g(|\nabla u|) \)定义为：
\[ g(|\nabla u|) = \frac{\phi'(|\nabla u|)}{|\nabla u|} \]
### 三、非局部均值PM模型
#### 3.1 非局部PM模型的概念
非局部PM模型是将PM模型中的扩散算子扩展到非局部领域，即将非局部均值算法与PM模型结合起来，以更好地保留图像细节并去除噪声。这种模型在保持图像的几何结构和纹理细节方面具有优势。
#### 3.2 数学表达
非局部PM模型的能量泛函可表示为：
\[ J_{NL/PM}(u) = \int_{\Omega}\beta^2 \ln\left(1+\left|\nabla_w u\right|^2\right)/\beta^2 dx \]
其中，\( \nabla_w u \)是非局部梯度。
#### 3.3 欧拉-拉格朗日方程
非局部PM模型的欧拉-拉格朗日方程可以表示为：
\[ \frac{\delta J(u)}{\delta u} = -\int_{\Omega} \frac{\beta^2}{|\nabla_w u(x)|^2+\beta^2} + \frac{\beta^2}{|\nabla_w u(y)|^2+\beta^2}(u(y)-u(x)) w(x,y) dx \]
### 四、Split-Bregman迭代算法
#### 4.1 Split-Bregman迭代算法介绍
Split-Bregman迭代算法是一种用于求解约束优化问题的有效方法，特别是当目标函数可以分解为几个子问题时更为适用。在非局部PM模型中，Split-Bregman迭代算法被用来求解非局部PM模型的能量最小化问题。
#### 4.2 实现过程
Split-Bregman迭代算法的具体步骤包括初始化、迭代更新和终止条件。迭代更新过程中涉及到对原问题的分解、交替方向乘子法（ADMM）等技术的应用。
### 总结
本文通过结合非局部均值去噪算法与PM模型，并采用Split-Bregman迭代算法求解，实现了对含加性噪声图像的有效去噪。这种方法不仅能够较好地保持图像的边缘和纹理特征，还能有效去除噪声干扰，具有重要的理论价值和实际应用前景。
