城市等级体系的多重Zipf维数及其地理空间意义 (2002年)
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北京大学学报(自然科学版)
，第
38
卷，第
6
期，
2002
年
11
月
Ac
ta
Scientiarurn
Na
turaliurn
Universitatis Pekinensis
,
Vol
.38 ,
No.6
(
Nov
,2002)
城市等级体系的多重
Zipf
维数
及其地理空问意义。
陈彦光周一星
(北京大学城市与环境学系，北京，
100871
)
摘
要
基于城市等级体系的分形递归模型
Pm
二
P14pn
，儿二万可
1
及其等价形式三参数
Zipf
定
律
P(
r)
二c(
r -
a).
d
，
提出关于城市位序-规模分布的多分形模型，得到多分维谱的二标度表达形
式
Dq
二
ln[
pq
十
(1
-
p)
q
1'[
(1 -
q)
ln
η
]，这里
p
二
P(
2)/[
P(
2)
十
P(
3)
1
为概率尺度(括号中的数字
表示城市的位序，
P
为对应城市的人口)
;然后借助Le
gendre
变换给出相应的参量表达，包括质量指
数可圳、关于质量的
lipschit
z"
Hölder
指数
a( q)
以及指数支集的分维函数灭的。导出关于城市体
系人口分布的空间维数谱模型
Dp(
q)
二
Dq
Df
以及有关的参量表达式，实现了区域城市人口多分维
的可计算性。多重
Zipf
维数模型不仅可以有效地统一中心地的等级阶梯与位序-规模法则反映的
连续分布，而且可以揭示城市体系演化的更多信息和隐含法则。以美国城市体系(
1998
年的数据)
为实证对象，给出了城市规模分布的多分维
Dq
以及灭的曲线等部分数值和图谱。
关键词
位序-规模法则;
Zipf
定律，空间结构，双分形，多分形，对称性，美国城市
中图分类号
K9
0l
.8
。寻|
~，~
仁
1
城市体系的空间结构己被证明具有多分形(
multifractals)
性质
[IJ
等级结构的简单分形性质
也是共识[匀，根据城市地理系统的时空对称性质
[3J
城市等级体系也应具有某种多分形特征。
本文将从三参数
Zipf
定律出发论证这个问题并给出相应的多分维方程。如果将服从位序一规
模法则的城市等级体系自上而下分为
M
个等级则可将其等级-规模关系表示为一对孪生对
称的标度定律，即分形递归
[4
J
Pm
二
P14yn
，
、.，/
1
/a'
飞
1m
二且可(
2)
式(
1
)、式(
2)
中
，
m
二
1
,2 ,
M
为城市等级
，
Pm
为第
m
级城市的平均人口规模，
P
1
为第一级
城市的平均人口，凡二
P
m/
p
m+1
为规模比;兀
1
为第
m
级城市的数目，且为第一级城市的数目，马
二儿
+1/
儿为数目比。显然，当刀二
1
时，
P
1
便是最大城市的人口数量。式
(
1
)、(
2)
实则基于
中心地理论和世界城市等级体系的广义Be
ckman
n-
Da
vis
模型
[3
，
4
J
借助该模型可以导出关于城
1)
国家自然科学基金资助项目
(40071035)
收稿日期
2001-1
去
24
;修四日期
2002-06-03
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