等价关系的矩阵判定 (1979年)

等价关系是数学中基本的二元关系之一，用于刻画集合中元素的等价性。在离散数学、代数结构等领域都有重要应用。本文探讨了如何通过矩阵方法来判定一个关系是否为等价关系。我们定义了集合S上的关系~，并给出了其对应的n阶矩阵表示方法，其中矩阵的元素取值为{0,1}。具体来说，如果元素ai与aj在关系~中，则矩阵中aij的值为1；否则为0。 矩阵判定方法利用了矩阵与关系之间的一一对应关系。对于给定的n阶矩阵A，可以确定集合S上的一个关系~，反之亦然。由此可知，任何关系~的矩阵表示形式都依赖于集合S元素的排列顺序。当改变元素顺序时，可以通过交换矩阵的行和列来获得新的矩阵表示，这称为对合变换。对于等价关系而言，存在一个特定的排列，使得其矩阵表示为一种特殊的准对角形式，即所谓的等价关系的标准阵。 标准阵中包含若干个1的方块，这些方块对应于等价类，方块内的元素全为1，方块之间元素全为0。这实际上揭示了等价关系的基本特征，即同一等价类内的元素通过关系相互关联，而不同等价类内的元素则没有关联。 文章进一步定义了矩阵的特殊子矩阵，这是指由三个1和一个0组成的二阶矩阵。对于对合变换后的任何矩阵C，若原矩阵A存在特殊子矩阵，则变换后的新矩阵C也存在特殊子矩阵。这一点对于理解等价关系矩阵的性质至关重要。 对于不符合传递律的关系，文章给出了一个重要结论：如果一个关系满足反射律但不满足传递律，那么其矩阵表示至少包含一个特殊子矩阵。这是通过分析关系的矩阵表示与等价关系的基本性质进行比较得出的结果。 文章还讨论了如何利用矩阵方法来判定关系是否为等价关系。基于上述的矩阵理论基础，提出了一个判定等价关系的矩阵方法，即通过分析矩阵是否具有标准阵的形式来确定一个关系是否为等价关系。 在给定的例1中，展示了如何利用矩阵判定等价关系的具体过程。对于集合S={2,3,4,5,6,8}，定义了一个等价关系~，并找到了使其矩阵表示为准对角阵的元素排列，从而验证了等价关系的存在。 通过上述讨论，我们可以了解到，矩阵不仅是表示和运算的工具，还可以成为判定关系性质的一种方法。等价关系的矩阵判定不仅为数学研究提供了新的视角，也拓展了矩阵理论的应用领域，对于理解和处理复杂关系具有实际意义。