文章编号 ：１０００＿０８８７（２００１）０６＿０５９３＿０９
直 接 边 界 元 法 中 边 界 积 分 的 解 析 处 理
磁
张耀明
１
， 孙焕纯
２
（１畅 山东工程学院 数理系 ，山东淄博 ２５５０１２ ；２畅 大连理工大学 力学系 ，大连 １１６０２３）
（我刊编委孙焕纯来稿）
摘要 ： 确立了平面位势和弹性力学问题的边界元直接法中边界积分的解析计算框架系统 ，从而
避免了传统的高斯近似求积分
·
数值算例表明它具有较高的精度和效率
·
特别是在边界量和边
界附近区域内点物理量的计算可获得较高的精度
·
关 键 词 ： 位势 ／弹性问题 ； 解析法 ； 边界元
中图分类号 ： Ｏ３４２ 文献标识码 ： Ａ
引 言
文［１ ～ ２］曾将直接边界元法（ＤＢＥＭ）和间接边界元法（ＩＢＥＭ）进行了比较 ，认为 ＤＢＥＭ 比
ＩＢＥＭ 有直接得到客观物理量而不是虚拟量的优点 ，但需要一个完整的数值求解体系（如高斯
近似求积分）来处理边界积分 ，形成代数整体矩阵花费较多的时间
·
而 ＩＢＥＭ 解析性强 ，整体
代数矩阵的构成 ，可通过解析的求积公式方便地求得
·
本文通过研究平面位势和弹性力学问题的直接变量边界积分方程 ，并导出其边界积分的
解析计算公式 ，表明上述的观点是片面的
·
产生上述的观点并不是没有根据的 ，由于在 ＩＤＢＥＭ
中 ，一个固定的节点作为场点和线性单元作为线源 ，尤其是导数运算是针对固定场点而言的 ，
它与积分变量无关 ，因此各线源对固定场点的位势或位移的贡献可以代数叠加
·
然而 ，直接边
界元法中的情形就不同了 ，固定节点是作为源点 ，而积分单元上的每个点是作为场点 ，求导（或
梯度）运算与积分变量有关
·
本文通过建立适当的坐标系导出直接边界元法中边界积分的解
析计算公式
·
１ 位 势 问 题
平面位势问题的基本解可以表示为 ｕ
倡
（ｐ ，ｐ
０
） ＝ （－ １／２π）ｌｎ ｒ（ ｐ ，ｐ
０
） ，其中 ｒ 是场点和源
点之间的距离
·
边界积分方程为
Ｃ（ｐ
０
）ｕ（ｐ
０
） ＝
∫
Γ
ｕ
倡
（ｐ ，ｐ
０
）
抄 ｕ（ｐ）
抄 ｎ
－
ｕ（ｐ）
抄 ｕ
倡
（ｐ ，ｐ
０
）
抄 ｎ
ｄ
Γ
ｐ
， 橙 ｐ
０
∈
Γ
， （１）
这里 ｒ 是场点 ｐ
０
和源点 ｐ 之间的距离
·
计算内点位势的边界积分表示式为
３９５
应用数学和力学 ，第 ２２ 卷 第 ６ 期（２００１ 年 ６ 月）
Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ
应用数学和力学编委会编
重 庆 出 版 社 出 版
磁 煙
收稿日期 ： １９９９＿１１＿２３ ；修订日期 ： ２０００＿１２＿０８
作者简介 ： 张耀明（１９６２ — ） ，男 ，山西五寨人 ，副教授 ，博士 ．
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