一类二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性(2011年)资源-CSDN文库

自然科学

论文

需积分: 10 126 浏览量 2021-06-13 15:06:54 上传评论收藏 361KB PDF 举报

资源推荐

资源详情

资源评论

第

卷第

期

2011

年

月

佛山科学技术学院学报(自然科学版)

Journal

Foshan

University

(Natural

Science

Edition)

文章编号

:1008-0171(2011)02-0023-08

No.

岛

2011

一类二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性

苏

恒，郭志明，白定勇善

(广州大学数学与信息科学学院，广东广州

510006)

摘要:研究一类二阶奇异微分方程

(p(t)u'(t))'

q(t)!(u(t))

，其中

，j

εC

(R+

，

有界。在满足边值条件

(0)

= O,

u(M)

下，应用临界点理论并结合分析的方法，证明了上述边值问题至少存在-个严格递减的

正解。该结果推广了现有文献中的相关结论。

关键词:二阶奇异微分方程;正解

边值问题;临界点理论

中图分类号

:0175.1

文献标志码

引言及主要结果

在微分方程研究的诸多方向中，边值问题正解的存在性具有广泛的应用背景和重要的理论意义。例

如，非线性椭圆方程的径向对称解、非牛顿流体理论、反应扩散方程、多孔媒质中气体揣流等问题[叫，都

需要对相应微分方程边值问题正解的存在性等问题进行深入探讨。众所周知，研究二阶微分方程

u"+

-1)

/t=

!(u)

的解，源于研究椭圆方程

!:l.

u=!(u)

在球体上或者

上的径向解，如果这类问

题的解在边界上为零，那么它的边界条件就相应于

(0)

u(M)

，

其中

，

可以是一个正数或者

+∞。

1981

年，

Berestycki

等问运用打靶法在边值条件

(0)=0

和以

M)=O

下，研究二阶微分方程

u"+

-1)

/t=

!(u)

正解的存在性，其中

，

N>l

为正整数。

2005

年，

Bonheure

等

[5J

改进了文献

[4J

的

方法，在与文献

[4J

相同的边值条件下，将正整数

N>l

，

推广到任意实数是

，研究了二阶微分方程

u"+

缸

，

/t=c(t)!(u)

正解的存在性，推广了文献

[4J

的结果。近年来与这一类方程相近的研究有，

2010

年

Rachünková

等问通过分析技巧和不动点理论，确定了二阶奇异微分方程

(t)u'

(t))'

!(u)

在

边值条件

u'(O)=B<O

和以

M)=O

下存在严格递增的解。本文对更广泛的一类方程

(p(t)u'(t))'=

q(t)!(u)

采用与文献

[6J

完全不同的方法，即应用临界点理论并结合分析的技巧，研究其边值问题正解

的存在性，得到了上述方程边值问题正解存在性的充分条件，所得结论推广和改进了文献

[5-6J

的结果。

为方便起见，令

q(t)

=c(t)

p(t)

，

考虑如下二阶奇异非线性微分方程的边值问题

(p(t)u'

(t))'

c(t)p(t)!(u(t))

，

(1)

(0)

= O,

u(M)

= 0 ,

(2)

其中

，

ε(0

，十∞)

(t)

是一个连续函数

，

p(O)=O

，

故方程(1)在

t=O

处具有奇异性。

在本文中，作如下的基本假设:

)!εC(R+

，

，并且满足局部

Lipschitz

条件，其中，

R+=

εR

It~O}

;/(0)=0

，

存在一个实数

a>O

，

使得如果

O<u

手

，

(a-u)!(u)>OD

收稿日期:

2011-01-02

基金项目

国家自然科学基金资助项目(1

0871053)

作者简介

苏

恒(1

983

斗，男，广西梧州人，广州大学硕士研究生。

祷通讯作者

白定勇(1

972

斗，男，甘肃通渭人，广州大学教授，博士。

佛山科学技术学院学报(自然科学版)

第

卷

即存在

~>a

，

使得

传

)<0

，其中

，

。

(Hg

C([O

，

十∞))，存在实数

和

CZ'

对于任意的

+∞

，有

O<Cl~C(t)~CZ.

(凡

)

p ( 0) = 0 , p

(t)

εC1([0

，

MJ)

，并且对于任意的

tξ(O

，

)>0;

又存在实数

卢

，使得

1;~

旦旦兰/…

'-0

(t)

飞一

俨

rb+~

/.'

.......L.

1 +

2czF(a)

)

存在实数

b>O

，

使得

tp(t)dt>

Fot

α)

缸，其中，

Fo=-

川白

，

，~

分别由

)

和

(Hz)

给出。

本文的主要结果如下。

定理

假设

C(t)

三

，

有界且满足条件

(Hl)~

)

，则边值问题(1)、

(2)

的非平凡解是严格递减

的正解。

定理

假设

为有界的，当

M>O

足够大，且条件

(Hl)~

)

都成立，则边值问题(1)、

(2)

至少存

在一个严格递减的正解，其解相应于泛函

的极小值点。

附注

)φ

为下文所定义的对应于边值问题(1)、

(2)

的变分泛函;

(ii)

本文研究的是方程(1)的正解，为方便起见，下文对于任意的

u~O

，

取

J(u)

=0;

ii)

由

)

和

(Hz)

可知，存在实数二

>a>O

，

使得

FCã)=o

。

例取

p(t)

或

p(t)=e'

一

，

(au

一卢

，

ξ[O

，

J(u)

= {

，

ε (M

，

∞)。

参数

、

，

l<p<

∞

，

c(t)=l

十

cost

。易知如上选取的

J(t)

、

p(t)

、

C(t)

满足定理

的所有条件，从而对

应的边值问题至少存在一个严格递减的正解。

定理的证明

为了应用临界点理论，首先引进适当的记号和变分结构。设

l<p<+

∞，

U([O

，

空间和

C([O

，

空间的范数分别记为

u!!LP=

!u(t)

!Pdt) '",

ull

∞

max

!u(t)!

。

飞

'E[O.MJ

类似于文献

[5J

的讨论，引进空间

H(O

，

其定义如下。

定义

H(O

AC([O;M

叫

fpwω

〈∞并且

u(M)

，其中

，

α[O

，

MJ)

表示在闭区间

，

上绝对连续的函数全体。

在

H(O

，

上，分别定义内积和范数如下

< u ,v

(p(t)u'

(

川

dt;

飞占

M = ! I

p(t)u'Z(t)dt'

容易验证

，

H(O

，

依内积成为一个

Hilbert

空间。

定义

泛函

:H(O

，

→

定义如下

引理

续的。

/.'

ru'Z(t)

/.'

ro/

/."

(u)=1

p(t)!

一

c(t)F(u(t))

!dt ,

H(O

，

。

如果

是赋范线性空间，

φ:X

→(一∞，十∞〉是下半连续的凸泛函，则

是弱下半连

引理

如果

是自反的

Banach

空间

上的弱下半连续的泛函，而且有一个有界的极小化序列，

则

在

上有最小值。

附注

如果

是强制的，

EPAr

∞

(x)=

十∞，则

存在有界的极小化序列。关于临界点理论的

剩余7页未读，继续阅读

评论收藏

内容反馈

weixin_38608055

粉丝: 7
资源: 966

一类二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性 (2011年)

最新资源

一类二阶奇异微分方程边值问题正解的存在性 (2011年)

一类二阶微分方程边值问题的近似解 (2011年)

一类奇异二阶周期边值问题的正解

奇异分数阶微分方程边值问题的正解

一类二阶积分边值问题正解的存在性 (2010年)

一类二阶常微分方程无穷多点边值问题正解的存在性 (2011年)

二阶常微分方程边值问题.pdf

用差分法求解二阶常微分方程初值问题 (2012年)

二阶常微分方程的降阶解法[借鉴].pdf

一类二阶常微分方程非局部边值问题的正解 (2011年)

一类奇异四阶三点边值问题的正解存在性

一类二阶奇异微分方程三点积分边值问题的正解 (2012年)

一类二阶奇异边值问题的正解 (2007年)

一类奇异的椭圆边值问题正解的存在性 (1999年)

BANACH空间二阶微分方程边值问题解的存在唯一性.pdf

一类拟线性二阶微分方程边值问题的正解 (2006年)

一类二阶n点边值问题三个正解的存在性 (2008年)

一类奇异边值问题正解的存在性和多重性 (2012年)

一类非线性奇异边值问题正解的存在性 (2012年)

常微分方程边值问题的数值解法.pdf

二阶线性微分方程解的结构.doc

一阶二阶常微分方程解法.pdf

一类二阶微分方程边值问题正解的存在唯一性讨论 (2006年)

最新资源