横观各向同性压电压磁介质的非轴对称问题研究是一个复杂而又富有挑战性的课题，在智能材料与结构的研究领域中占据着重要的地位。为了深入探讨这类问题，研究者们提出了采用Hankel变换的方法来求解，这在土木结构振动控制领域应用智能驱动材料和器件时尤为重要。智能材料，例如电/磁流变液体、压电材料、电/磁致伸缩材料和形状记忆合金材料，已经成为了实现结构智能控制的关键要素。
在本文中，作者朱保兵和王建国详细地介绍了如何通过控制方程得到层状压电压磁介质空间非轴对称问题的状态变量方程，并进一步利用Hankel变换将其转化为矩阵形式的常微分方程组。这种方法的优势在于它能够处理层状结构中的各种物理量变化，其中状态变量的选择仅仅与层状结构上下表面的物理量直接相关，从而在分析层状结构时具有得天独厚的优势。
文章的引言部分着重讲述了智能材料与结构概念的提出，以及其在土木结构振动控制中的应用背景。文章提到，传递矩阵方法是分析层状结构的一个有效工具，而这一点已在先前的研究中得到了应用和验证。例如，Sosa用传递矩阵方法研究了压电材料层状结构的二维问题，丁皓江等人研究了压电材料圆板的弯曲问题，王建国等人研究了层状压电材料半空间问题。
在控制方程方面，研究者们考虑了一个特定的物理模型：横观各向同性压电压磁弹性材料空间的非轴对称问题。基于圆柱坐标系，场变量成为了r、θ和z的函数。在不计体力、电荷和磁场的前提下，给出了三维横观各向同性的压电压磁理论控制方程，包括平衡方程和本构方程。这些方程不仅描述了材料内部的力学平衡，还涉及到电场和磁场的耦合效应。
Hankel变换和Cayley-Hamilton定理在此研究中被应用，以导出层状半无限压电压磁介质在Hankel变换空间中的解。Cayley-Hamilton定理是一个关于矩阵特征值的定理，它允许将矩阵幂表示为矩阵自身特征值的多项式，这在简化常微分方程组时非常有效。通过这种数学工具，作者成功地以状态变量表示了多层压电压磁介质在变换空间中的解，并利用传递矩阵方法导出了多层压电压磁介质空间非轴对称问题解的一般解析式。
文章中还指出了控制方程的复杂性，包含着平衡方程和本构方程。平衡方程反映了材料内部的力学平衡状态，而本构方程则描述了材料在力和电磁场作用下的响应，涉及到应力、应变、电位移和磁感应强度等变量。这些控制方程的建立为后续的变换和解析提供了基础。
对于此类复杂系统，求解过程中遇到的最大挑战之一是如何有效地处理大量的物理变量和它们之间的相互作用。Hankel变换的引入就是为了将这些耦合问题转化为易于处理的数学形式。Hankel变换是一种特殊的积分变换，通常用于解决带有圆柱对称性的物理问题，可以将空间域中的问题转化为频域中的问题，从而简化问题的复杂度，使得求解过程更为便捷。
除了Hankel变换，文章中还提到了Cayley-Hamilton定理的应用，它是一个关于矩阵的定理，指出矩阵满足自身的特征多项式。在工程和物理问题的矩阵分析中，Cayley-Hamilton定理是寻找矩阵幂级数解的一种重要手段，能够将复杂的矩阵幂次简化为矩阵的线性组合，从而极大地简化了问题的求解步骤。
本文提供了一个有效的方法来处理和求解横观各向同性压电压磁介质的非轴对称问题。这一研究不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中，特别是在智能结构设计和振动控制方面具有潜在的应用价值。通过Hankel变换和Cayley-Hamilton定理的结合使用，可以更加高效地解决相关的工程问题，为智能结构材料的研究和开发提供了新的思路和工具。
