### 一类新的广义混合拟变分包含组
#### 概述
本文介绍了一类新的广义混合拟变分包含组，并使用了η-近似映射技巧来证明了一个新迭代算法的收敛性和解的存在性。该研究不仅扩展了已有的理论框架，还改进和推广了近期的一些研究成果。
#### 主要内容
##### 广义混合拟变分包含组的引入
在数学分析和应用数学领域，特别是最优化理论和控制论中，变分包含组问题是一个重要的研究方向。这类问题涉及多个变量之间的复杂关系，并通常涉及到一些特定类型的映射，如单调映射等。本文提出了一种新的广义混合拟变分包含组：
给定两个希尔伯特空间\(H_1\)和\(H_2\)以及四个集值映射\(A, C: H_1 \rightarrow CB(H_1)\)，\(B, D: H_2 \rightarrow CB(H_2)\)（其中\(CB(H_i)\)表示\(H_i\)中的非空有界闭子集集合），以及两个单值映射\(N_1: H_1 \times H_2 \times H_1 \times H_2 \rightarrow H_1\), \(N_2: H_1 \times H_2 \times H_1 \times H_2 \rightarrow H_2\)。目标是寻找一组\((x, y) \in H_1 \times H_2\)，使得存在\(u \in A(x)\), \(v \in B(y)\), \(w \in C(x)\), \(z \in D(y)\)，满足以下条件：
\[
\begin{align*}
0 &= N_1(x, y, u, v) \\
0 &= N_2(x, y, w, z)
\end{align*}
\]
虽然这个问题不涉及\(H\)-单调或\((H, \eta)\)-单调映射，但通过利用\((H, \eta)\)-单调映射的技术，可以证明此类问题的新迭代算法的收敛性和解的存在性。
##### 定义与引理
为了更好地理解和解决上述提出的广义混合拟变分包含组问题，我们需要回顾一些基本概念和引理。
- **η-单调映射**：给定两个单值映射\(\eta: H \times H \rightarrow H\)和\(H: H \rightarrow H\)，映射\(H\)被称为η-单调的，如果对于所有的\(u, v \in H\)，都有
\[
\langle H(u) - H(v), \eta(u, v) \rangle \geq 0
\]
这里\(\langle \cdot, \cdot \rangle\)表示内积运算。
- **(H, η)-单调映射**：同样给定两个单值映射\(\eta: H \times H \rightarrow H\)和\(H: H \rightarrow H\)以及集值映射\(M: H \rightarrow 2^H\)，映射\(M\)被称为\((H, \eta)\)-单调的，如果对于所有的\(u, v \in H\)以及\(x \in M(u)\), \(y \in M(v)\)，都有
\[
\langle x - y, \eta(u, v) \rangle \geq 0
\]
并且如果\(M\)是η-单调的且对于所有的\(\lambda > 0\)，都有\((H + \lambda M)(H) = H\)。
- **γ-强单调映射**：对于给定的单值映射\(g: H \rightarrow H\)和\(H: H \rightarrow H\)，\(g\)被称为关于\(H\)是γ-强单调的，如果存在正数\(\gamma > 0\)，对于所有的\(u, v \in H\)，都有
\[
\langle g(u) - g(v), Hu - Hv \rangle \geq \gamma \|u - v\|^2
\]
- **ξ-D̃-Lipschitz连续映射**：给定集值映射\(A: H \rightarrow CB(H)\)和单值映射\(N: H_1 \times H_2 \times H_1 \times H_2 \rightarrow H_1\)以及\(g: H_1 \rightarrow H_1\)，\(A\)被称为ξ-D̃-Lipschitz连续的，如果存在常数\(\xi > 0\)，使得对于所有的\(u, v \in H\)，都有
\[
D̃(Au, Av) \leq \xi \|u - v\|
\]
其中\(D̃(\cdot, \cdot)\)表示\(CB(H)\)上的Hausdorff度量。\(\alpha\)-强单调映射的定义则是在\(N\)的第一变元关于\(g\)的情况下的扩展。
这些定义和引理为解决广义混合拟变分包含组问题提供了理论基础。通过引入\((H, \eta)\)-单调映射的概念和技术，可以有效地处理这一类问题，并证明新迭代算法的收敛性和解的存在性。这种理论的发展不仅扩展了变分包含组问题的研究范围，而且也为实际问题提供了解决方案的可能性，尤其是在优化和控制领域中的应用。
#### 结论
本文介绍的一类新的广义混合拟变分包含组及其解决方法不仅为该领域的理论研究做出了贡献，也为其在实际问题中的应用开辟了新的可能性。通过引入和利用\((H, \eta)\)-单调映射的概念，不仅可以处理更为复杂的数学模型，还可以进一步推动相关领域的研究和发展。
