在数学领域，特别是在泛函分析、最优化理论以及非线性分析中，Banach空间是一类重要的完备赋范线性空间，具有无限维的特性。本文探讨了Banach空间中非线性系统相补问题的可解性，这对于理解各类变分不等式、均衡问题、最优化问题等具有重要意义。
相补问题（Complementarity Problems，简称CP）是研究当一些未知数满足一定条件时，其他未知数达到某种状态的问题。这类问题广泛应用于经济学、工程技术、控制理论等多个领域。非线性相补问题（Nonlinear Complementarity Problems，简称NCP）是相补问题的一种扩展，在其中涉及非线性函数。
在非线性系统分析中，相补问题的解的存在性和唯一性是一个核心的研究主题。研究者们通常会引入某些条件，如(S)+条件，来确保问题的可解性。本文正是利用函数族的(S)+条件，来证明在Banach空间中的非线性相补问题存在解，并且在适当条件下，解具有伸缩性，即能扩大或缩小其解空间。
(S)+条件是一种特定的数学性质，它与函数族的特定性质有关。通常，(S)+条件与单调性有很强的联系。在最优化理论中，单调算子（Monotone Operators）和伪单调算子（Pseudo-Monotone Operators）等概念与(S)+条件相似，是研究非线性系统相补问题时经常考虑的工具。
本文中还涉及到了不动点定理和KyFan引理等工具，它们都是在非线性分析中证明问题解的存在性时常用的数学手段。不动点定理，例如布劳威尔不动点定理，经常用于证明函数在自身上存在不动点，即有一个点映射到自身，它为证明解的存在性提供了基础。
KyFan引理是泛函分析中的一个重要结果，它在证明某些数学结构中存在平衡点时特别有用。具体来说，它表明在某些条件下，一个连续函数在特定的凸集上能找到零点。在相补问题中，KyFan引理帮助证明在平衡条件下的解的存在性。
此外，本文还讨论了有限维与无限维空间中解的存在性，指出在自反Banach空间中，通过引进广义投影算子，研究了一类F隐变分不等式的存在性。这意味着即使在没有单调性假设的情况下，通过特定的方法，仍然可以研究这类问题的可解性。
在研究中，文献[3]通过应用KyFan引理给出变分不等式系统问题解的存在性，而文献[7,8]则在无单调性假设下研究了F隐变分不等式的存在性，从而为研究非线性相补问题提供了新的视角和方法。文献[1,2,4,5,6]则分别对相补问题、均衡问题以及最优化问题等进行了研究，并在经济与工程技术中的应用做了探讨。
在研究Banach空间中的非线性系统相补问题时，本文介绍了(S)+条件，并研究了在满足该条件下的相补系统问题的解的存在性和伸缩性，这对于数学理论的发展以及相关应用领域都具有一定的贡献。通过文献引用和回顾，可以看出这一领域已经取得了一系列成果，并且仍存在广阔的研究空间和应用前景。
