n维正态各分量的线性组合服从正态分布的一个证明 (2010年)

n维正态分布是多元统计分析中的一个重要概念，它描述了多个随机变量相互之间具有正态分布特征的一种联合分布形态。当一个n维随机变量的各个分量（即各个随机变量）之间的线性组合仍然服从正态分布时，这一性质在理论和应用层面都具有重要意义。以下是对n维正态分布的各分量线性组合服从正态分布的证明所涉及知识点的详细阐述。 n维正态分布的定义如下：如果一个n维随机变量X=(X1, X2, ..., Xn)的联合概率密度函数可以表示为： f(x1, x2, ..., xn) = (2π)^(-n/2) |V|^(-1/2) × exp(-1/2 (X-μ)^T V^(-1) (X-μ)) 其中，μ是均值向量，V是协方差矩阵且为正定矩阵，X^T代表X的转置，那么就称X服从n维正态分布Nn(μ, V)。 在此基础上，几个引理被用来逐步建立证明。引理1指出，如果V12=V21=0（即矩阵V的对角块之间互不相关），那么可以将X分解为两个独立的正态分布的随机变量X(1)和X(2)的组合。这一分解依赖于矩阵V的结构特征，并且与对协方差矩阵进行剖分（partitioning）有关。 引理2讨论了当对n维正态随机变量进行线性变换时，其结果仍然服从正态分布的性质。具体来说，如果Y=AX且A是n阶满秩线性变换矩阵，则Y将服从Nn(Aμ, AVAT)的分布。这里，A的转置矩阵AT与A的乘积反映了对原始变量的变换关系。 引理3是引理1的一个特例，它给出了当V11是r阶方阵并且V12=0时的分解情况，从而能够进一步证明X(1)的分布是Nr(μ(1), V11)。 基于这些引理，定理得以证明。定理的主体表明，对于任意r×n矩阵A，X的线性组合Y=AX服从Nr(Aμ, AVAT)的正态分布。这一结论是通过将A矩阵扩展为满秩方阵P来实现的，从而可以使用引理2的性质。由于P是满秩矩阵，因而P的转置矩阵与P相乘构成的矩阵是可逆的，从而保证了Y～Nn(Pμ, PVPT)的结果。 证明的步骤中还涉及到了矩阵代数的基本运算，如矩阵的乘法、求逆和行列式计算，以及与微积分相关的重积分换元法。这些方法是应用数学领域中处理高维问题的重要工具。 最终，通过上述逻辑推导，证明了n维正态随机变量的分量的线性组合服从正态分布，为多元统计分析提供了理论支持，并且对于多变量分析、信号处理、金融数学等领域的研究具有实际应用价值。 作者熊德之为武汉工程大学的教授，专注于概率统计及其应用的研究，这一贡献反映了其在专业领域内的深入研究和学术成就。