不定方程组是指含有两个或两个以上的未知数，且未知数的次数大于1的方程所组成的方程组。这类方程组的求解往往比一元方程复杂，特别是在方程中的未知数涉及的是整数解的时候。本文讨论的是一个特定的不定方程组5x² - 4y² = 1 和 5x² - 6z² = -1，并且证明了这个方程组仅有整数解x² = 1。
我们需要了解一些数学概念。初等方法在数学中指的是不需要依赖于高级数学工具，如高等代数、微积分等，而是通过算术运算以及基础的代数运算来解决问题的方法。这种方法通常包括利用已知的数学公式、等式变换、递推关系以及数学归纳法等。
不定方程组的研究属于数论范畴，是数学中一个很重要的分支，尤其在密码学、编码理论、整数规划等领域有着广泛的应用。求解不定方程组的难点在于其解的复杂性和多样性，以及寻找这些解的存在性和结构。
文中提到的“丢番图方程组”是与古希腊数学家丢番图（Diophantus）有关的一类方程或方程组，它的特点是方程的解被限制为整数解。丢番图方程组的求解在数学史上有着悠久的历史，著名的例子包括费马大定理和哥德巴赫猜想等。
文中还提到了“递推关系”，这通常指的是通过一个或多个前项来确定当前项的关系式。递推关系在数列的理论中非常常见，可以帮助我们求解数列的通项公式，或者在一定程度上刻画数列的特性。
作者在证明过程中应用了初等数论的知识，例如模运算和同余关系。模运算通常涉及整数被某个正整数除后余数的计算，比如x≡1（mod 4）表示x除以4的余数是1。在解决整数解的不定方程组时，模运算能够揭示出整数解的特定模式和规律，从而简化问题的复杂性。
在具体的证明过程中，作者首先引用了已有的结果，即方程5x² = 1的正整数解可表示为5n + 1的形式，并且基于这个结果提出了引理1，说明了当x和y是5x² - 4y² = 1的解时，它们必须满足特定的同余关系。类似地，通过分析方程2y² - 3z² = -1的解，作者提出了引理2。
最终，作者通过引入特定的整数解形式并运用模运算证明了，给定不定方程组在一定条件下只有整数解x² = 1成立。这涉及到了方程组之间的关联和对解的条件限制，利用了递推关系和同余式来约束解的范围，从而找到了满足两个方程的所有可能的整数解。
总而言之，该文通过初等数论的方法证明了特定的不定方程组的整数解问题，不仅展示了数学的严谨性和逻辑推理能力，同时也体现了数学在解决复杂问题时所采用的基本策略和技巧。这些研究成果对于数学理论的发展以及解决实际问题都具有一定的指导意义。
