在研究Banach空间中的迭代方法时，Mann迭代和Ishikawa迭代是两种重要的非线性迭代技术。它们在固定点理论的研究中扮演着关键角色，特别是在寻找非线性算子的不动点问题上。Mann迭代与Ishikawa迭代的主要区别在于，Mann迭代过程中仅使用一个序列的值，而Ishikawa迭代会同时使用两个序列的值来生成新的迭代元素。然而，当引入误差项时，这两种迭代方法的收敛性质可能发生变化，研究它们之间收敛的等价性问题就显得尤为重要。
我们需要了解Banach空间的基本概念。Banach空间是一种完备的赋范线性空间，也就是说，空间中的每个柯西序列都有极限，且其范数满足一些基本性质，如三角不等式。实Banach空间指的是其上的范数是由实数构成的Banach空间。
迭代方法中的关键概念是映射。在迭代过程中，我们将一个映射从空间的一个子集D映射到它自身，通过迭代不断地接近其不动点。在本文中，我们特别关注渐近伪压缩映射和渐近非扩张映射。渐近伪压缩映射意味着对于任意的x和y在空间D中，存在一个序列趋近于1，使得不等式<Tx - Ty, x - y> ≤ kn ||x - y||2成立。渐近非扩张映射则意味着存在一个序列趋近于1，使得||Tx - Ty|| ≤ kn ||x - y||成立。
Mann迭代和Ishikawa迭代在无误差的情况下形式如下：
对于Mann迭代：
Un+1 = (1 - αn)Un + αn TUn，n≥0，
对于Ishikawa迭代：
yn = (1 - βn - γn)xn + βn Txn + γn vn，
Un+1 = (1 - αn)Un + αn Ty，n≥0，
其中αn、βn、γn是区间[0,1]内的序列，Un是迭代点，vn是空间D中的另一个点。
当我们在迭代过程中引入误差项时，上述迭代方法就变成了带误差的修改Mann迭代和Ishikawa迭代。误差项可能是由计算误差、测量误差或者模型本身的不完善等原因造成的。
在研究这些迭代方法时，研究者们通过定义正规对偶映射J，它是从Banach空间E到其对偶空间E*的映射。在某些条件下，这个映射具有特定的性质，比如在这里提到的正规对偶映射的定义。
在这篇论文中，作者白占立和姜梳研究了带误差修改的Mann迭代和Ishikawa迭代在实Banach空间中收敛的等价性问题。他们探讨了渐近伪压缩映射和渐近非扩张映射下，带误差的迭代方法的收敛性质，并且在一定条件下证明了两种迭代方法的收敛性是等价的。这意味着，在某些条件下，如果一个迭代序列收敛，那么另一个相应的迭代序列也会收敛。
研究的等价性问题不仅有助于理解不同的迭代方法如何相互关联，而且对于理论研究与实际应用都具有重要意义。了解这些迭代方法的等价性，可以帮助设计更有效的算法来解决实际问题，比如在优化问题、偏微分方程的数值求解以及工程计算等领域。
此外，本文提到的国家自然科学基金资助项目(***)表明了该研究课题得到了国家层面的重视，并且有着较为深入的理论和应用背景。通过研究这些迭代方法的收敛性，可以帮助改进现有的迭代技术，为解决更复杂的非线性问题提供理论依据和算法基础。
