Simulation of dynamical Kirchhoff plates by the Trunc element

在工程结构中，板是一种基本的组成部分，其振动分析在土木、机械、航空航天等多个应用领域都极为重要。薄板的振动问题可以通过Kirchhoff板模型进行描述。Kirchhoff板模型是基于经典弹性薄板理论，描述了薄板在垂直载荷作用下的动态行为。为了求解Kirchhoff板的动态振动问题，本文提出了TRUNC型非协调有限元方法，该方法在空间离散上采用TRUNC型非协调元，而在时间方向上则采用了二阶中心差分格式。 非协调元的使用允许有限元模型在处理位移场的不连续性时更为灵活，而不需要满足连续性要求，这对于捕捉板的振动特性是很有帮助的。TRUNC型非协调元作为一种特殊的有限元，其设计往往是为了简化计算过程以及提高计算精度，特别适用于复杂边界条件和非标准几何形状的板结构分析。 二阶中心差分格式在时间方向上的应用是一种时间离散化方法，它可以有效地处理时间上的动态响应问题。通过在时间上离散化，可以把连续时间的动力学问题转化为一系列的静力问题求解，从而可以利用现有的静力有限元求解器进行求解。二阶中心差分格式能够较好地模拟振动过程中的时间特性，保持数值解的稳定性和精确性。 在文章中，郭玲给出了TRUNC型非协调有限元方法的能量模意义下的误差估计。这意味着，通过分析模型的能量模数，可以预测数值解与精确解之间的误差范围。误差估计是验证数值方法可靠性的关键步骤，它不仅帮助评估数值解的精度，而且在设计和选择合适的网格密度时提供指导。 为了说明所提出方法的可行性，本文还提供了一系列的数值实验。数值实验是通过在特定条件下应用所提出的TRUNC型有限元方法，并将其解与已知解或实验数据进行比较，以此来展示算法的正确性和有效性。通过比较数值解与理论解，可以直观地评估有限元模型预测振动特性时的精确性。 关键词中提及的“计算数学”指的是运用数学方法解决科学和工程中的计算问题。而“振动分析”是指使用数学和物理的方法分析结构或系统的振动现象。“Kirchhoff板”指的是在工程中被广泛应用的理论模型，它描述了在平面内无拉伸应力的薄板的弯曲行为。“Trunc元”即文章中提到的TRUNC型非协调元。“误差估计”是研究数值解与精确解之间误差大小的方法，这对于评估数值方法的可靠性至关重要。 本文作者郭玲，上海师范大学数理学院讲师，主要研究方向为有限元方法和偏微分方程的数值方法，代表了她在上述领域的研究和教学成果。此外，文章还标注了基金项目“Specialized Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education (***)”，这表明研究得到了高等教育博士点专项科研基金的支持。 薄板振动问题的TRUNC型有限元方法涉及了现代工程计算中的一系列关键技术，包括非协调元的运用、时间离散化技术、误差估计理论和数值实验验证等。这些技术的综合应用为工程结构的振动分析提供了有力的工具，有助于更准确地预测和控制工程结构在实际应用中的动态行为。