H. Wang猜想，对于任意整数k≥2，存在N（k）使得二部图G=（V1，V2，E）中，| V1|=|V2|=n≥N（k），且对于G中任意一对不相邻的顶点x∈V1，y∈V2，有d（x）+d（y）≥n+k，那么，对于G中任意k个独立边e1，e2，e3，?，ek，存在顶点不重的k个圈Cl，C2，?，G，使得ei∈E（Ci），i∈|l，2，?，k|和V（C1U C2U?U G）=V（G）。H。Wang及J。A。Bondy对k=2，3时证明了猜想成立，本文对k=4证明了猜想的正确性。
### 有圈二部图覆盖的一个结果
#### 研究背景与问题定义
本文讨论了一个关于二部图覆盖的问题，特别关注了如何利用特定数量的圈来覆盖图中的独立边集。研究始于H. Wang的一个猜想：对于任意整数\(k \geq 2\)，存在一个正整数\(N(k)\)，当一个二部图\(G = (V_1, V_2, E)\)满足\( |V_1| = |V_2| = n \geq N(k)\)，并且对于图中任意一对不相邻的顶点\(x \in V_1\), \(y \in V_2\)，都有\(d(x) + d(y) \geq n + k\)时，则对于图\(G\)中的任意\(k\)个独立边\(e_1, e_2, \ldots, e_k\)，都存在顶点互不相同的\(k\)个圈\(C_1, C_2, \ldots, C_k\)，使得每个独立边\(e_i \in E(C_i)\)，同时这些圈覆盖了图\(G\)的所有顶点。
#### 主要结果
在本文中，作者首先回顾了H. Wang及J.A. Bondy已经证明的情况，即当\(k = 2, 3\)时，上述猜想是成立的。然后，他们进一步研究了\(k = 4\)的情况，并成功证明了此猜想也适用于这一情况。这意味着，当二部图\(G\)满足上述条件时，可以找到四个顶点互不相同的圈\(C_1, C_2, C_3, C_4\)，每个圈包含一个独立边集合中的边，并且这四个圈覆盖了图\(G\)的所有顶点。
#### 技术细节
为了理解这个问题，我们需要深入了解几个关键概念：
1. **二部图**：一个图\(G = (V, E)\)被称为二部图，如果其顶点集可以被划分为两个互不相交的子集\(V_1\)和\(V_2\)，使得每条边的两个端点分别属于这两个不同的子集。
2. **度数**：对于一个顶点\(v\)，它的度数\(d(v)\)定义为以该顶点为一端的所有边的数量。
3. **圈**：一个圈是由顶点和边构成的简单闭合路径，其中路径的起点和终点相同，但除了这两个顶点外，路径中没有重复的顶点或边。
4. **独立边集**：一个图中的边集称为独立边集，如果这个集合中的任何两条边都不共用同一个顶点。
5. **顶点互不相同的圈**：这意味着每个圈中所含有的顶点都是唯一的，没有任何两个圈共享相同的顶点。
#### 证明思路
文章未提供具体的证明过程，但我们可以推测，证明的关键在于构造满足条件的圈以及证明这些圈的存在性。通常这类问题可以通过构造性的方法解决，即通过逐步构建满足条件的圈来完成证明。具体来说，可能会涉及到以下步骤：
- **初始设定**：根据\(k\)的值选择适当的\(N(k)\)，确保二部图\(G\)的大小足以支持所需的圈的构建。
- **选择独立边**：从图\(G\)中选取\(k\)个独立边。
- **构建圈**：通过分析选定的独立边与图的其他结构之间的关系，逐步构建满足条件的圈。
- **证明覆盖性**：证明这些圈确实能够覆盖整个图\(G\)的所有顶点。
#### 结论
通过对\(k = 4\)情况的研究，本文不仅扩展了先前关于二部图覆盖问题的研究成果，也为解决更广泛情况下的问题提供了重要的理论依据。此外，该成果还可能启发更多的研究工作，探索更高阶的\(k\)值以及更复杂的图结构下的类似问题。
