文章《圈图和2p阶完全二部图的齐次分解》于2012年发表在河南教育学院学报自然科学版上，作者为覃树仁，其工作单位为广州华商职业学院公共基础课程教学部。该研究基于循环群和2p阶群的自同构群，针对圈图Cn和2p阶完全二部图Kp的齐次分解进行了深入探讨，并得到了这两类图的所有齐次分解的具体构造。齐次分解是一种图的同构分解方法，它可以将图分解为一些同构的子图的并集。在图论领域，齐次分解的研究有着重要的意义，特别是对于点传递对称图的结构分析。
研究的主要对象是圈图和完全二部图。圈图是由一组顶点构成的一个闭合循环，每个顶点都与相邻的两个顶点相连，形成一个闭合的链。而完全二部图则由两个不相交的顶点集合组成，每一对集合中的顶点之间都有连线，而集合内部顶点之间则无连线。其中，2p阶完全二部图指的是两个顶点集合的元素数量相等且都为2p个顶点的完全二部图，这里p是素数。
齐次分解的主要定义包括了齐次分解的指数以及因子的定义。指数为k的齐次分解，意味着图可以被分解成k个彼此同构的子图，这些子图在图上是通过自同构群的元素作用来传递的。文中定义了顶点集、弧集、边集和全自同构群，并且使用了置换群理论来进行研究。置换群理论是代数图论中的一个核心内容，它通过置换群对图的自同构进行研究，以此来分析图的对称性和结构性。
文章中还提到了同构分解的概念，它是指将一个图分解为若干个同构的子图，并对这些子图进行研究。但是，一般的同构分解方法无法形成一个系统的理论来支持研究。因此，研究者引入了齐次分解的概念，这种方法允许使用置换群的理论框架来进行系统化研究。
研究中给出了两个重要的定理。定理1指出，对于奇数阶的圈图Cn，存在唯一的齐次分解，其因子为顺时针方向的有向圈Cn和逆时针方向的有向圈Cn。对于偶数阶的圈图Cn，存在两个齐次分解，其中一个的因子同构于有向圈Cn，另一个的因子则同构于完美匹配K2。完美匹配K2是一个二部图，其中每个顶点都恰好有一个邻接点，形成一个匹配。定理2则关注于2p阶完全二部图Kp的齐次分解，给出了这类图的齐次分解的具体构造方法。
此外，研究中还提到了自同构群和同构群在图的结构分析中的应用。自同构群是由保持图不变的所有置换构成的群，对于圈图而言，其自同构群是循环群。自同构群的研究有助于理解图的对称性，特别是点传递图的性质。
该研究为图论中的齐次分解理论提供了新的成果，尤其是在圈图和完全二部图的齐次分解方面的研究。通过研究这些图的齐次分解，可以更好地理解图的结构和性质，为图的理论研究和应用提供了有力的工具。
