### 一类正线性映射的可分解性和最优性
#### 摘要与背景
在量子信息理论中，量子纠缠态被视为实现高效量子信息处理和量子通信的关键资源。研究如何有效检测复合系统中的量子态是否处于纠缠状态是量子信息科学中的一个重要课题。通过非完全正（NCP）的正线性映射可以有效地检测量子态的纠缠性。这类映射不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也扮演着关键角色。
#### 正线性映射的基本概念
在量子信息领域中，一个量子系统的状态可以被描述为复希尔伯特空间上迹为1的正算子（半正定矩阵）。复合系统上的量子态若不能表示为一系列纯态的极限，则被认为是纠缠的。这里涉及到的两个核心概念是正线性映射和完全正线性映射。
- **正线性映射**：是指保持线性空间中元素正定性的映射，即如果输入是正定的，则输出也是正定的。
- **完全正线性映射**：是一种特殊的正线性映射，它除了保持正定性外，还满足更严格的条件，即无论怎样张量乘积扩展该映射，得到的新映射仍然是正的。
#### 非完全正线性映射的作用
非完全正（NCP）正线性映射在量子信息理论中起着重要作用。这些映射不仅可以用来检测量子态的纠缠性，还可以帮助理解和设计量子信道。NCP正线性映射的一个关键特性是它们不总是保持张量积的正定性，这使得它们成为检测量子态纠缠的有效工具。
#### 可分解性和2-正性的概念
- **可分解性**：一个正线性映射被称为可分解的，如果它可以表示为一个完全正映射和一个共轭完全正映射的线性组合。这种性质对于理解映射的行为以及它们在量子信息处理中的应用非常重要。
- **2-正性**：一个映射被称为2-正的，如果将它应用于任意两个希尔伯特空间的张量积时，结果仍是正的。这是完全正性的一个弱化版本，但在很多情况下仍然足够强大。
#### 映射的构造与性质
论文中提出了一种构建非完全正的正线性映射的方法，具体步骤如下：
1. **选择基底**：选取复希尔伯特空间\(H\)的一个正交基{\(|1\rangle, |2\rangle, \ldots, |n\rangle\)}。
2. **定义算子**：基于选定的基底，定义一组算子\(A_k = \sum_{i=1}^n a_i^{(k)} |i\rangle\langle i|\) 和 \(B_l = \sum_{i=1}^m b_i^{(l)} |i\rangle\langle i|\)，其中系数满足一定条件。
3. **构建映射**：根据这些算子定义正线性映射\(\Phi(T) = \sum_{k=1}^s A_k T A_k^\dagger + \sum_{l=1}^r B_l T B_l^\dagger - \lambda T\)，其中\(\lambda\)是一个特定的常数。
#### 主要结果
1. **可分解性证明**：论文证明了上述构造的正线性映射\(\Phi\)是可分解的，这意味着它可以通过一个完全正映射和一个共轭完全正映射的线性组合来表示。这一结果有助于进一步理解这类映射的结构及其在量子信息处理中的应用。
2. **非2-正性证明**：此外，还证明了\(\Phi\)不是2-正的，即它在张量积空间中不总是保持正定性。这一发现对于理解非完全正映射的特点以及其在检测纠缠态中的作用至关重要。
3. **最优纠缠Witness**：文章给出了一个充分必要条件，用于判断由\(\Phi\)生成的纠缠Witness \(W_\Phi\)是否是最优的。具体而言，\(W_\Phi\)是最优的当且仅当对于所有\(t\)有\(f_t = 0\)，并且对于所有\(i, j\)有\(|f_{ij}|\)等于1。
#### 结论
本文通过对非完全正的正线性映射\(\Phi\)的研究，不仅展示了这类映射的可分解性，而且还证明了它不是2-正的。更重要的是，文中给出了生成的纠缠Witness \(W_\Phi\)成为最优的充分必要条件。这些成果不仅深化了我们对非完全正线性映射的理解，也为量子信息处理和量子通信中的实际应用提供了有价值的工具和技术。
