### 基于非线性时滞系统与时滞相关的H∞控制
#### 一、引言
在控制理论中，时滞系统的研究一直备受关注，尤其是对于非线性时滞系统的控制问题。这类系统广泛存在于工程实践中，如化工过程、生物系统以及网络控制系统等。时滞的存在通常会导致系统的稳定性降低，甚至可能导致系统失稳。因此，如何有效地处理时滞对系统性能的影响，是控制领域中的一个重要课题。
#### 二、非线性时滞系统及其H∞控制
**非线性时滞系统**通常可以表示为：
\[ \dot{x}(t) = Ax(t) + A_1x(t-\tau) + f(x(t), x(t-\tau)) + Bu(t) + d(t) \]
其中，\( x(t) \) 是状态向量，\( u(t) \) 是控制输入，\( d(t) \) 表示外界扰动，\( \tau \) 代表时滞，而 \( f(x(t), x(t-\tau)) \) 则是非线性函数，用来描述系统中的非线性行为。
在本文中，作者针对非线性时滞系统提出了一个新的假设，并在此基础上研究了与时滞相关的H∞控制问题。H∞控制是一种鲁棒控制策略，其目标是在外部扰动存在的情况下，使得系统的输出误差尽可能小，即最小化一个性能指标\( H \)。
#### 三、新的非线性假设
文章中提到的新假设主要关注于非线性函数 \( f(x(t), x(t-\tau)) \) 的特性。该假设考虑了非线性项的结构特点以及其与时滞的关系，通过这一假设，能够更好地分析和设计控制器。具体来说，新假设可能包括以下几个方面：
1. **非线性项的有界性**：非线性项 \( f(x(t), x(t-\tau)) \) 在某个范围内是有界的。
2. **非线性项与状态变量的关系**：非线性项与当前时刻的状态 \( x(t) \) 和时滞时刻的状态 \( x(t-\tau) \) 之间存在一定关系，例如满足某种不等式约束。
3. **非线性项与时滞的关系**：非线性项可能还与时滞大小 \( \tau \) 有关联，这有助于更精确地估计系统的动态行为。
#### 四、利用线性矩阵不等式(LMI)方法得到与时滞相关的H∞控制
为了设计与时滞相关的H∞控制器，文章采用了一种基于线性矩阵不等式(LMI)的方法。LMI是一种强大的工具，它可以将复杂的非线性优化问题转化为一组线性矩阵不等式，从而利用标准的数值方法求解。通过LMI方法，作者得到了与时滞相关的H∞控制器的设计准则。
具体步骤包括：
1. **建立模型**：根据系统的动力学方程和新的非线性假设建立模型。
2. **构造Lyapunov-Krasovskii泛函**：选择合适的Lyapunov-Krasovskii泛函来评估系统的稳定性。
3. **转化成LMI问题**：通过引入适当的变量变换，将稳定性分析和控制器设计问题转化为一组LMI问题。
4. **求解LMI**：利用现成的软件包（如MATLAB中的LMI工具箱）求解这些LMI。
5. **获得控制器参数**：从LMI的解中提取控制器的参数。
#### 五、非线性时滞系统鲁棒镇定的充分条件
除了H∞控制之外，文章还探讨了非线性时滞系统鲁棒镇定的充分条件。鲁棒镇定意味着即使在不确定性或扰动存在的情况下，系统也能保持稳定。作者给出的充分条件可以帮助验证系统是否可以在给定的不确定性范围内保持稳定。
这些条件通常涉及到系统的Lyapunov函数或泛函的导数必须为负定或负半定。此外，它们还可能涉及到了非线性项的特定性质，例如非线性项的增益限制或者与时滞大小的关系。
#### 六、结论
通过对非线性时滞系统的深入研究，作者不仅提出了一种新的非线性假设，而且还成功地利用LMI方法设计出了与时滞相关的H∞控制器。这种方法不仅能够提高系统的鲁棒性，还能有效处理时滞带来的负面影响。此外，文中给出的非线性时滞系统鲁棒镇定的充分条件也为后续研究提供了重要的参考价值。这项工作为解决实际工程中的非线性时滞系统控制问题提供了一个有效的解决方案。
