2009 04
45(2)
北京师范大学学报(自然科学版)
Journal of Beijing Normal University (Natural Science)
]117
属 性 掌 握 概 率 分 类 模 型
倡
——— 一种基于
Q
矩阵的认知诊断模型
朱金鑫
1)
张淑梅
1)报
辛 涛
2)
( 1)北京师范大学数学科学学院 ,数学与复杂系统教育部重点实验室 ;
2)北京师范大学发展心理研究所 :100875 ,北京)
摘要 提出了一种属性掌握概率的分类模型 ,该模型基于 Q 矩阵 ,采用对属性掌握概率先估计后分类的方法 ,从而
实现对考生知识状态的识别 .在估计阶段提出一种属性掌握概率的估计方法 ,在分类阶段引进模糊数学的贴近度按择近
原则判别法 ,并通过计算机模拟研究 ,发现该模型适用于总体的属性掌握概率服从左偏态分布和双峰分布的考生知识状
态的识别 .
关键词 认知诊断 ;属性掌握概率分类模型 ;属性掌握概率估计 ;模糊识别
倡 国家自然科学基金资助项目 (30670718)
报 通信作者
收稿日期 :2008‐06‐10
认知诊断评价结合认知科学与心理测量学 ,致力
于探索学生的知识结构及学生解题中所犯的错误
[1]
,
研究者们从不同的角度发展了近 20 种认知诊断模型 .
如 Tatsuoka
[2]
在 20 世纪 80 年代提出的规则空间模
型 、DiBello 等人
[3]
1995 年提出的统合模型 、Hartz 等
人
[4]
2002 年提出的融合模型等 .然而这些模型都比较
复杂 ,不易于理解 ,在一定程度上限制了它们的广泛应
用 .如规则空间模型 (RSM ) ,该模型具有严密的理论
构架和广泛的应用前景 ,但模型涉及了 IRT 和多元统
计知识 ,具有复杂的数理公式 ,不利于从业者理解和应
用 .同时 ,这个复杂体系中每一步所确定的结果都会影
响到下一步的运算和最终的结果
[5]
.本研究基于规则
空间模型中关于 Q 矩阵和属性的基本构架 ,提出了一
种较为简洁的认知诊断模型 ,即先估计考生属性掌握
概率后分类判别 ,并通过计算机模拟确定了该模型的
适用范围 .
1 研究方法
1 .1 属性掌握概率的估计 一次测验中 ,要掌握一个
项目(试题)涉及的所有属性(学生解题时要使用的知
识和认知加工技能或策略
[5]
)才能答对该项目 .我们设
想 :可以先通过观察涉及某个属性的所有项目的作答
情况 ,初步估计考生对该属性的掌握程度 ,然后用项目
答对概率估计值修正上述估计 ,从而得到考生的属性
掌握概率更为精确的估计 .
假设某种测试(共 m 个项目)中 ,我们得到 n 个考
生在所有项目上答对(为 1)和答错(为 0)的项目反应
模式矩阵
R
n × m
=
r
11
r
12
… r
1 m
r
21
r
22
… r
2 m
⁝ ⁝ 筹 ⁝
r
n1
r
n2
… r
nm
=
R
′
(1)
R
(2)
′
⁝
R
(n)
′
,r
i
j
∈ {0 ,1} .
假设所有试题共涉及 l 个属性 ,通过领域专家认定形
成表征项目涉及(为 1)或不涉及(为 0)各个属性的关
联矩阵 Q :
Q
l × m
=
Q
′
(1)
Q
(2)
′
⁝
Q
(l)
′
=
q
11
q
12
…
q
1 m
q
21
q
22
…
q
2 m
⁝ ⁝ 筹 ⁝
q
l1
q
l2
…
q
lm
=
(Q
1
,Q
2
… Q
m
) ,
q
k
j
∈ {0 ,1} ,
由项目反应模式 R 矩阵和表征项目和属性间关系的
Q 矩阵 ,利用矩阵乘法 ,可以得到每个考生在各个属性
上的答对个数(答对涉及该属性的项目的个数) :
N
f
n × l
= RQ
′
=
n
11
n
12
… n
1 l
n
21
n
22
… n
2 l
⁝ ⁝ 筹 ⁝
n
n1
n
n2
… n
nl
,
其中 n
ik
= R
′
(i)
Q
(k)
= (r
i1
,r
i2
,… ,r
im
)·
q
k1
q
k2
⁝
q
km
为考生 i 在
涉及属性 k 的项目上的答对个数 ,则其答对频率为 :
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